Problema de generalización de coincidencias.

Question

Pregunta: Si tres cartas se colocan al azar en tres sobres, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente una carta se coloque en el sobre correcto?

Respuesta: Existe exactamente un resultado en el que solo la carta $1$ se coloca en el sobre correcto, es decir, el resultado en el cual la carta $1$ se coloca correctamente, la carta $2$ se coloca en el sobre $3$, y la carta $3$ se coloca en el sobre $2`. De manera similar, existe exactamente un resultado en el que solo la carta$2$se coloca correctamente, y uno en el que solo la carta$3` se coloca correctamente. Por lo tanto, de los $3!=6$ resultados posibles, $3$ resultados dan como resultado que solo una carta se coloque correctamente. Entonces, la probabilidad es $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Ahora, quiero generalizar este problema para $n$ letras y $n$ sobres.

Creo que la respuesta sería $$\frac{n(\text{algo})}{n!}$$ , pero no sé qué debería ser ese $algo$. Probé con $(n-2)$, pero eso no funciona más allá de $n=4$.

Por favor, ayúdame a generalizar este problema. Gracias.

Answer 1

Aquí hay una idea. Hay $n$ formas de escoger aquella que será la correcta. Luego querrás contar el número de derangements de las restantes $n-1,$ por lo que en general, la respuesta es $$\frac{!(n-1)\cdot n}{n!}=\frac{!(n-1)}{(n-1)!}$$

Answer 2

Consideremos tener n letras correspondientes a las cuales existen n sobres con diferentes direcciones. Considerando varias letras colocadas en diversos sobres, se dice que hay una coincidencia si una carta va en el sobre correcto. Consideremos primero el evento $A_{k}$ cuando hay una coincidencia en el k-ésimo lugar.

Cuando ocurre $A_{k}$, la k-ésima letra va al k-ésimo sobre pero (n - 1) letras pueden ir a los sobres restantes (n - 1)! maneras. Entonces: $P(A_{k}) = \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n}$. $P(A_{k})$ denota la probabilidad de la k-ésima coincidencia

Pensemos en una situación: $Letra_{i}$ debe entrar en el $Sobre_{i}$, $Letra_{j}$ debe entrar en el $Sobre_{j}$.
Surgen 2 casos.
Caso 1: 'n' objetos diferentes 1.2 •...• n son distribuidos al azar en n lugares marcados 1.2 •...• n. Encuentre la probabilidad de que ninguno de los objetos ocupe el lugar correspondiente a su número.

Caso 2: Si n letras se colocan al azar en sobres con direcciones correctas, ¿Cuál es P(Exactamente r letras se colocan en sobres correctos)?

Soluciones:

$E_{i}$: Denotemos el evento donde el i-ésimo objeto ocupa la posición i correspondiente a su número. Entonces, la probabilidad 'p' de que Ninguno de los objetos ocupe el lugar correspondiente a su número es dada por $p = P(\overline{E1} \cap \overline{E2} \cap \overline{E3}.... \cap \overline{En} ) = 1 - P(\text{Al menos uno de los objetos ocupa el lugar correspondiente a su número})= 1 - P(E1 \cup E2\cup E3.... \cup En) = 1 - [\sum_{i=1 }^{n}P(E_{i}) - \sum_{i=1 }^{n}\sum_{j=1 }^{n}P(E_{i} \cap E_{j})....+(-1)^{n-1}P(E_{1} \cap E_{2}\cap E_{3}....... \cap E_{n}) ]= 1 - [\frac{\binom{n}{1}}{n} - \frac{\binom{n}{2}}{n(n-1)} + \frac{\binom{n}{3}}{n(n-1)(n-2)} - ..... + \frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)(n-2)...3.2.1} ] = 1- [ 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}-...+\frac{^{(-1)^{(n-1)}}}{n!}]= \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - ........ + \frac{(-1)^{(n)}}{n!} = \sum_{k = 0 }^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}$ ......................................................................

Pero para n grande:

p = $1-1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - ........... = e^{-1}$

Y, la Probabilidad de al menos una coincidencia: $1 - p = (1-e^{-1})$

.........................................................................

Por lo tanto, P(Ninguna de las n letras va al sobre correcto) = $\sum_{k = 0 }^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}$

La Probabilidad de que cada una de las r letras esté en el sobre correcto = $\frac{1}{r!}$

Si pensamos, De las n letras, solo r letras están en el sobre correcto. Entonces, la probabilidad de que Ninguna de las restantes (n-r) letras estén en el sobre correcto está dada por: $\sum_{k = 0 }^{n-r}\frac{(-1)^{k}}{k!}$

Por lo tanto, P(De las n letras exactamente r letras van al sobre correcto) está dada por:

$\frac{1}{r!}\sum_{k = 0 }^{n-r}\frac{(-1)^{k}}{k!}$