En la definición de mapas de transición

Question

Cuando se define una variedad, el dominio y contradominio de los mapas de transición se suelen denotar así:

$$\varphi_\eta \circ \varphi_\lambda^{-1}: \varphi_\lambda(U_\lambda \cap U_\eta) \to \varphi_\eta(U_\lambda \cap U_\eta) $$

Pero si decimos que $\varphi_\lambda(U_\lambda) = V_\lambda$ y $\varphi_\eta(U_\eta) = V_\eta ¿no sería más corto y por lo tanto más bonito escribirlo de la siguiente manera?

$$\varphi_\eta \circ \varphi_\lambda^{-1}: V_\lambda \cap V_\eta \to V_\lambda \cap V_\eta $$

¿Hay alguna razón por la que siempre se representa usando los mapas? (Realmente nunca lo he visto usando solo los conjuntos en $\mathbb R^n$)

Answer 1

Sería más corto, pero incorrecto. :)

Considera dos cartas en la variedad $M = \mathbb R$. El dominio de la primera, $\phi_\eta$, es el intervalo $(0, 2)$, y el mapa lleva $(0, 2)$ a $(0, 2)$ mediante $x \mapsto x$.

El dominio de la segunda es $(1, 3)$, y la segunda lleva $(1, 3)$ a $(101, 103)$ mediante $x \mapsto x + 100.

Observa que los codominios son disjuntos. ¿Significa eso que $\phi_\eta \circ \phi_\lambda^{-1}$ tiene un dominio vacío? Para nada. El dominio de esta composición es $(101, 102)$, y el codominio es $(1, 2)$ (y de hecho, el mapa es $x \mapsto x - 100$).