La prueba más poderosa de tamaño cero para $\theta$ dada una muestra aleatoria de $U(0, \theta)$

Question

Encontré un par de preguntas en este sitio (Prueba más poderosa de simple vs simple en $\mathrm{Unif}[0, \theta]$ y UMP para $U(0,\theta)$ (hipótesis simple x simple)) que son similares a mi problema, pero no entiendo lo suficiente sobre pruebas de hipótesis para traducir la discusión en esos enlaces a mi situación.

Problema:

Sea $Y_1, \dots, Y_n$ una muestra aleatoria de una distribución uniforme en el intervalo $[0, \theta]$ donde $\theta > 0$ es desconocido. Encuentra la prueba más poderosa para la hipótesis nula $H_0 \colon \theta = 1$ contra la hipótesis alternativa $H_1 \colon \theta = 4$ que nunca rechaza una hipótesis nula verdadera. Encuentra el poder de esta prueba más poderosa cuando $n = 4$.

Mi intento:

Inicialmente consideré el cociente de verosimilitudes $\dfrac{L_{\boldsymbol{Y}}(\theta_1 ; \boldsymbol{Y})}{L_{\boldsymbol{Y}}(\theta_0 ; \boldsymbol{Y})}$ pero esto no parecía llevar a ninguna parte. Luego decidí utilizar la siguiente prueba, basada puramente en la intuición: rechazar $H_0$ si y solo si el máximo de la muestra $Y_{(n)} > 1$.

Tengo entendido que esta prueba es en realidad uniformemente más poderosa para la hipótesis alternativa compuesta $H_1^{\prime} \colon \theta > 1$ porque la región de rechazo no depende del valor de $\theta_1$ ($4$ en este caso). Por lo tanto, la prueba debe ser ciertamente más poderosa para las hipótesis nula y alternativa como se indica en el problema.

Estoy bastante seguro de que la prueba nunca rechazará una hipótesis nula verdadera (es decir, tiene tamaño cero) porque, bueno, por construcción solo rechazará $H_0$ cuando el máximo de la muestra sea mayor que $1$, lo que significa que $H_0$ debe ser falso.

En cuanto al poder de la prueba, razono de la siguiente manera (nota que según mis apuntes del curso, la frase "poder de la prueba" se refiere al valor de la función $\beta(\theta) = P( \text{rechazar } H_0)$ en la situación en la que $H_1$ es verdadera):

$$\begin{align} \text{Poder de la prueba} &= P( \text{rechazar } H_0)\\ &= P( Y_{(n)} > 1)\\ &= 1 - F_{Y_{(n)}}(1)\\ &= 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{\!\!4} \text{ (sustituyendo en los grados de libertad de } Y_{(n)} \text{ cuando } n = 4 \text{ y } H_1 \text{ es verdadera)}\\ &= \frac{255}{256}. \end{align}$$

Pregunta:

¿Es correcta esta solución?

Gracias.

Answer 1

Sí, es correcto. Puedes derivar este test del cociente de verosimilitudes. La verosimilitud $L_\theta$ es $\theta^n$ si todos $Y_i\leq\theta$ y 0 en caso contrario, por lo que el cociente de verosimilitudes es $(1/4)^n$ si todos $y_i\leq 1$ y $0$ en otro caso.

El test más poderoso debe elegir $\theta=1$ si $Y_{(n)}\leq 1$ y $\theta=4$ en otro caso, ya que corresponden a los únicos valores posibles del cociente de verosimilitudes y como muestras, este test tiene tamaño cero y potencia 255/256.