Conjetura fracción continua para la función theta de Jacobi $\vartheta_{4}(q)$

Question

Dada la función theta de Jacobi $$\vartheta_{4}(q)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nq^{n^2}$$

donde $q=e^{2\pi i\tau}$, y $|q|\lt1$. Se postula que tiene la siguiente fracción continua

$\vartheta_{4}(q)= 1-\cfrac{2q}{1-q+\cfrac{q}{1-\cfrac{q^2}{1-q^3+\cfrac{q^2}{1-\cfrac{q^3}{1-q^5+\cfrac{q^3}{1-\cfrac{q^{4}}{1-q^7+\cfrac{q^{4}}{1-\dots}}}}}}}}\tag{1a}$

y su recíproco,

$\begin{aligned}\frac{1}{\vartheta_{4}(q)}=1+\cfrac{2q}{1-q-\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1-q^3-\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1-q^5-\cfrac{q^3}{1+\cfrac{q^{4}}{1-q^7-\cfrac{q^{4}}{1+\dots}}}}}}}}\end{aligned}\tag{1b}$

¿Cómo probamos la postulación?

Editado más tarde:

Si definimos el símbolo q-Pochhammer para cualquier número complejo $a$, $$ (a;q)_{\infty}=\prod^{\infty}_{n=0}\left(1-aq^n\right) $$

las fracciones continuas postuladas pueden generalizarse a la siguiente forma

$\begin{aligned}\prod_{n=0}^\infty\frac{\big(1-aq^n\big)}{\big(1+aq^n\big)}=1-\cfrac{2a}{1-q+\cfrac{a}{1-\cfrac{aq}{1-q^3+\cfrac{aq}{1-\cfrac{aq^2}{1-q^5+\cfrac{aq^2}{1-\cfrac{aq^{3}}{1-q^7+\cfrac{aq^{3}}{1-\dots}}}}}}}}\end{aligned}\tag{1c}$

lo que obviamente conduce a la fracción continua para el recíproco de $\vartheta_{4}(q)$ cuando $a\rightarrow -q$.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial porque dejo de lado las consideraciones de convergencia y solo me enfoco en la parte que encuentro interesante. Solo trata la fracción continua etiquetada como $(1\mathrm{a})$ en la pregunta. Las otras han sido agregadas después.

Sea $F(q)$ tu fracción continua. Entonces $$\frac{1 + F(q)}{2} = b_0 + \dfrac{a_1}{b_1 + \dfrac{a_2}{b_2 + \ddots}}\tag{1}$$ donde $$\begin{align} b_0 &= 1 & a_{2k-1} &= -q^k & a_{2k} &= q^k \\ & & b_{2k-1} &= 1 - q^{2k-1} & b_{2k} &= 1 \end{align}$$ para enteros $k\geq 1$.

Aquí me enfocaré en la parte par de la fracción continua en $(1)$, es decir, en la fracción continua cuya secuencia de aproximantes es la subsecuencia de índices pares de los aproximantes de $(1)$.

Según el teorema 2.10 en la referencia 1 a continuación, la parte par es $$E(q) = b_0^* + \dfrac{a_1^*}{b_1^* + \dfrac{a_2^*}{b_2^* + \ddots}}$$ donde $$\begin{align} b_0^* &= b_0 = 1 & a_1^* &= a_1 b_2 = -q \\ b_1^* &= a_2 + b_1 b_2 = 1 & a_2^* &= -a_2 a_3 b_4 = q^3 \\ b_k^* &= a_{2k-1}b_{2k} + b_{2k-2}(a_{2k} + b_{2k-1}b_{2k}) = 1 - q^{2k-1} & a_k^* &= -a_{2k-2}a_{2k-1}b_{2k-4}b_{2k} = q^{2k-1} \\ (k&\geq2) & (k&\geq 3) \end{align}$$ Así $$E(q) = 1 - \dfrac{q}{1 + \dfrac{q^3}{1 - q^3 + \dfrac{q^5}{1 - q^5 + \ddots}}}$$ Reconocemos una fracción continua de Euler en esto: $$\dfrac{1}{1 + \dfrac{t_1}{1 - t_1 + \dfrac{t_2}{1 - t_2 + \ddots}}} = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\prod_{k=1}^n t_k$$ Con $t_k = q^{2k+1}$ obtenemos $$E(q) = 1 - q\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\prod_{k=1}^n q^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n q^{n^2} = \frac{1 + \theta_4(q)}{2}$$ lo cual confirma la afirmación para la parte par de $(1)$ y ofrece la forma más compacta $$\theta_4(q) = 2E(q) - 1 = 1 - \dfrac{2q}{1 + \dfrac{q^3}{1 - q^3 + \dfrac{q^5}{1 - q^5 + \ddots}}}$$ Referencias:

1. W. B. Jones y W. J. Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications. Addison-Wesley 1980.