$(l^p,\|.\|_p)$ es un espacio de Banach para $p\geq 1$.
Prueba: Sea $(x^n)_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $l^p$, donde $x^n=(x^n_k)_{k\in\mathbb{N}}$. Sea $\epsilon>0$. Entonces elige $N\in\mathbb{N}$ tal que para cada $m>n>N, \|x^n-x^m\|_p<\epsilon.$ Entonces para cada $m>n>N,$ $$\left(\sum_{j=1}^\infty|x_j^n-x_j^m|^p\right)^\frac{1}{p}<\epsilon.$$
Por lo tanto para cada $k,$ $$m>n>N\implies|x^n_k-x^m_k|\leq\left(\sum_{j=1}^\infty|x_j^n-x_j^m|^p\right)^\frac{1}{p}<\epsilon. $$ Por lo tanto la sucesión $(x^n_k)_{n\in\mathbb{N}}$ es de Cauchy para todo $k.$ Ahora ponga $x_k=\lim_{n\to\infty}x^n_k$ para todo $k.$ Dado que $(x^n)_{n\in \mathbb{N}}$ es de Cauchy, está acotada. Por lo tanto, $$\exists M>0:\forall n\in\mathbb{N}:\|x^n\|_p
Entonces $\sum_{j=1}^m|x_j^n|
Ahora fije $n>N$ y observe que $\sum_{j=1}^\infty|x_j^n-x_j^m|^p<\epsilon^p$ para cada $m>n$. Entonces para cada $m>n$ y para cada $k,\ \sum_{j=1}^k|x_j^n-x_j^m|^p<\epsilon^p$.
Dejando que $m\to\infty$ produce $\sum_{j=1}^k|x_j^n-x_j|^p \leq\epsilon^p$ para todo $k$. Por lo tanto $\sum_{j=1}^\infty|x_j^n-x_j|^p \leq\epsilon^p$.
Por lo tanto $(\sum_{j=1}^\infty|x_j^n-x_j|^p)^\frac{1}{p} \leq\epsilon$ o mejor dicho $\|x^n-x\|_p<\epsilon$ donde $x=(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$, y la prueba está completa.
¿Esta prueba está bien? Gracias.
