Isometría isométrica entre el Espacio de Hardy $h^p(\mathbb{D})$ y $L^p(\mathbb{T})$

Question

¡Sé que la pregunta a continuación es un resultado conocido pero, ¡necesitaría algo de ayuda para probarlo!

Bueno, sé que en la integral de Poisson induce un isomorfismo isométrico entre $L^p(\mathbb{T})$ y el espacio de Hardy $h^p(\mathbb{D})$ para $p>1$. Estoy leyendo Function Spaces and Partial Differential Equations: Classical analysis y esta pregunta es la observación 5.24 pero no está demostrada.

Ahora, ¿cómo puedo probar esto?

Gracias.

EDICIÓN: La definición de $h^p$ que tengo es esta: $h^p(\mathbb{D})=\{u\in Har{\mathbb{D}: ||u||_{h^p}=sup_{0}, donde el $Har\{\mathbb{D}\}$ son el grupo de funciones armónicas mientras que $M_{p}(u,r)=(\int_{-\pi}^{\pi}|u(re^{it})|^p\frac{dt}{2 \pi})^\frac{1}{p}$.

Answer 1

Es una buena cosa que pregunté por la definición, porque resulta que lo que quieres decir con $h^p$ no es lo que pensé que querías decir. Para tu información, la razón por la que me desconcerté es que $h^p$ no es lo que comúnmente se llama un espacio de Hardy; podría tolerar llamarlo un "espacio de Hardy armónico".

Supongamos $u=P[f]$ y definimos $$u_r(t)=u(re^{it}).$$ Entonces $u_r=f*P_r$ (donde el símbolo $*$ denota la convolución), así que si $f\in L^p(\Bbb T)$, entonces $$||u_r||_{L^p(\Bbb T)}\le||P_r||_1||f||_p=||f_p||.$$ Por lo tanto, $||u||_{h^p}=\sup_r||u_r||_p\le ||f||_p$.

Por otro lado, sabemos que $u_r\to f$ casi en todas partes, así que el Lema de Fatou muestra que $$||f||_p\le\liminf_r||u_r||_p\le\sup_r||u_r||_p.$$