Pregunta sobre aproximación por funciones suaves en el Espacio de Sobolev

Question

Una pregunta bastante pequeña. En las EDP de Evan se establece el siguiente teorema

Supongamos que $U$ es acotado y $\partial U$ es $C^1$. Supongamos que $u\in W^{k,p}(U)$ para algún $1\leq p<\infty$. Entonces existen funciones $u_m\in C^\infty(\bar{U})$ tal que $$u_m\to u \ \ \ \ en \ W^{k,p}(U)$$

Presume que este teorema seguirá siendo válido si $u_m\in C^\infty_c(U)$. Mi pregunta principal es, ¿esto requiere convergencia para 'cualquier' secuencia? ¿O es suficiente tener convergencia para 'una' secuencia?

Answer 1

La afirmación ya no es válida en general si reemplazas $u_m \in C^\infty(\bar U)$ por la condición más fuerte $u_m \in C_c^\infty(\Omega)$. De hecho, esto solo es posible para $u\in W^{k,p}_0(U)$, ya que este espacio se define como la clausura de $C_c^\infty(\Omega)$ en $W^{k,p}(U)$.

La intuición detrás de esto es que las funciones en $W^{k,p}(U)$ y $C^\infty(\bar U)$ pueden tener valores en la frontera distintos de cero, lo cual no es cierto para $C_c^\infty(\Omega)$.