Prueba por inducción que $n(n+1)(n+2)(n+3)$ es un múltiplo entero de $24$

Question

Demostrar por inducción que $n(n+1)(n+2)(n+3)$ es un múltiplo entero de $24$

Sea $P(n)$ la proposición que queremos demostrar, es decir: $P(n):=24 \mid(n)(n+1)(n+2)(n+3)$

Para $P(1)$ tenemos: $24 \mid(1)(1+1)(1+2)(1+3)\implies6 \mid(1)(2)(3)(4)\implies24 \mid24$, entonces $P(1)$ es verdadero.

Para $P(2)$ tenemos: $24 \mid(2)(2+1)(2+2)(2+3)\implies6 \mid(2)(3)(4)(5)\implies24 \mid120$, entonces $P(1)$ es verdadero

Hipótesis Inductiva: Sea $n=k$ y asumimos que $P(k):=24\mid k(k+1)(k+2)(k+3)$ es verdadero.

Paso Inductivo: $$(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$$ $$k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3)$$ Usando la suposición de $P(k) \implies \exists a\in \mathbb Z$, tal que, $(k+1)(k+2)(k+3)=24\cdot a$

así: $$=24\cdot a +4(k+1)(k+2)(k+3)$$

Answer 1

Continuando desde donde lo dejaste, solo necesitamos demostrar que para $n=k+1$, $P(n)$ es un múltiplo entero de $24$.

$$P(k+1) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$$ $$P(k+1) = k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3)$$ La $1^a$ término en el lado derecho es $P(k)$ que es un múltiplo entero de $24$ por tu hipótesis inductiva.

La $2^a$ término en el lado derecho tiene un producto de $3$ enteros consecutivos y por lo tanto es divisible por $6$. Por lo tanto, en total es divisible por $4*6=24$.

En total, el lado derecho es divisible por $24$. Por lo tanto, $P(k+1)$ es un múltiplo entero de $24$.