Sea $G$ un grupo $p$ no abeliano finitamente generado, por ejemplo $G = \langle x, y, z \rangle$
¿Es válido el siguiente argumento?
Eso significa que para cada $g \in G$ existe i, j, k
$g = x^iy^jz^k$ dado que G es no abeliano, $g \not = y^jx^iz^k$, entonces debemos tener
$G \not = \langle y, x, z \rangle$
Respuesta
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No, esto no es correcto. En primer lugar, voy a suponer que $x, y, z$ son elementos de algún otro grupo conocido para que $\langle x, y, z \rangle$ tenga sentido en el primer caso. Entonces $G = \langle x, y, z \rangle$ consta de todos los elementos de la forma $x^{i_1} y^{i_2} z^{i_3} x^{i_4} y^{i_5} z^{i_6} x^{i_7} \ldots z^{i_k}$ para cualquier entero $i_1, \ldots, i_k$ y cualquier $k > 0$. Dado que los exponentes pueden ser cero, es fácil ver que esto es equivalente a decir que $G$ consta de todas las cadenas que consisten en $x, y, z$ y sus inversos. Así, por ejemplo, $y^jx^iz^k \in G$.
