Sobre la no inversibilidad del semigrupo térmico

Question

Sea $H$ un espacio de Hilbert y $L$ un operador autoadjunto definido de forma densa acotado por debajo: $$(Lx,x)\geq \omega (x,x), \;\; \omega\in \mathbb R $$ Entonces $-L$ genera un semigrupo $c_0$ $\Phi(t):=\exp(-tL)$. Si los autovalores de $L$ son $ \lambda_0\leq \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n \nearrow +\infty$, con autovectores $(u_k)_k$ (repitiendo la multiplicidad), entonces el semigrupo es: $$ \Phi(t)u=\sum_{k\geq 0} (u,u_k)e^{-\lambda_kt}u_k $$ Podemos controlar muy bien esta suma para $t>0$: para cualquier natural $n$ y cualquier $u\in H$, $\Phi(\cdot)u\in C^{\omega}((0,+\infty),\Gamma(L^n))$ es analítico, donde $\Gamma(L^n)$ es el grafo de $L^n$ con norma $||u||:=||u||_H+||L^nu||_H$. En particular, esto dice que $\Phi(t):H\longrightarrow H$ no es sobreyectivo para cualquier $t>0$.

¿Es $\Phi(t)$ inyectivo?

Si $E\subset H$ no es el subespacio trivial y $t>0$, ¿es cierto que $\Phi(t)(E)\varsubsetneq E$ y que $\Phi(t)|_E$ no es inyectivo?

En caso afirmativo, ¿existe alguna manera de medir cuánto no inyectivo y no sobreyectivo es $\Phi(t)$ aumentando $t$? (Creo que en física, esto se llama entropía)

Answer 1

La injectividad de $e^{-tL}$ es fácil de ver si conoces el teorema espectral para operadores autoadjuntos: Para cada $u\in H$ existe una medida de Borel $\mu_u$ tal que $$ \langle u,f(L)u\rangle=\int_{\mathbb{R}} f(\lambda)\,d\mu_u(\lambda) $$ para toda función acotada de Borel $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$.

Dado que $\lambda\mapsto e^{-t\lambda}$ es estrictamente positiva y continua, para todo $a,b\in \mathbb{R}$ existe $\epsilon>0$ tal que $e^{-t\lambda}\geq \epsilon$ para $\lambda\in [a,b)$. Por lo tanto, si $e^{-tL}u=0$, entonces $$ 0=\langle u,e^{-tL}u\rangle=\int e^{-t\lambda}\,d\mu_u(\lambda)\geq \epsilon \mu_u([a,b)). $$ Por lo tanto, $\mu_u=0$ y por ende también $0=\mu_u(\mathbb{R})=\|u\|^2$.