Si dos matrices enteras $A$ y $B$ tienen el mismo espacio de filas, ¿$A=UB$ para alguna matriz unimodular $U$?

Question

Estoy tratando de demostrar que si $A$ y $B$ son matrices sobre los enteros de la misma dimensión $m\times n$ y tienen el mismo espacio de fila (es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes enteros de las filas de la matriz), entonces debe existir una matriz unimodular $U$ (es decir, una matriz entera con determinante igual a $\pm 1$) tal que $A=UB$.

Estoy realmente atascado en esto. Solo tengo un argumento que funcionaría si pudiera asumir que $A$ y $B$ tienen rango completo de fila:

Dado que los espacios de fila de las matrices son iguales, las filas de cada matriz pueden expresarse como una combinación de las filas de la otra matriz, lo que significa que existen matrices enteras $V$ y $W$ tal que $A=VB$ y $B=WA$. De esto, tenemos que $A=VWA$ y $B=WVB$. Si $A$ y $B$ tienen rango completo de fila, eso implica que $VW=I$ y $WV=I$, entonces $V$ y $W$ son inversas una de la otra, por lo tanto son unimodulares y tengo el resultado.

Cualquier pista sobre cómo podría demostrar el resultado sin tener que asumir un rango completo de fila sería muy útil. Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes usar el concepto de forma normal de Hermite de matrices enteras para demostrar tu afirmación.

La forma normal de Hermite de una matriz entera $A \in \mathbb{Z}^{m \times n}$ es una matriz entera triangular superior $H$ tal que $H = UA$ donde $U$ es una matriz unimodular con las siguientes propiedades.

1. Existe $1 \leq j_1 < j_2 < \dots < j_{m}$ tal que si $h_{i,j} \neq 0$, esto implica que $j \geq j_i$.
2. Para todo $k < i$, $0 \leq h_{k, j_i} < h_{i, j_i}$.

Es fácil mostrar que la forma normal de Hermite de una matriz entera es única. Sean $C$ y $D$ las formas normales de Hermite de $A$ y $B$ respectivamente, es decir, $C = UA$ y $D = VB$ donde tanto $U, V$ son matrices unimodulares. Dado que el espacio de filas de $A$ y $B$ son iguales, podemos mostrar que $C = D$. Esto implica que $UA = VB \implies A = U^{-1}V B$ donde $U^{-1}V$ es también una matriz unimodular.