Clausura de un $A\subset \mathbb{R}$ en la topología generada por la subbase

Question

Sea $\tau$ la topología en $\mathbb{R}$ dada por la subbase que consiste de intervalos abiertos $(a,\infty)$. Entonces tengo que determinar lo siguiente:

1. El cierre de cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$.
2. La propiedad de la secuencia se mantiene en esta topología. Es decir, dado cualquier $x\in\bar{A}$, existe $x_n\in A$ tal que $x_n\to x.$

Básicamente, este es un ejemplo de un espacio no Hausdorff en el cual se cumple la propiedad de la secuencia.

Mi intento:

Sea $x\in\bar{A}$, entonces dada cualquier vecindad $U_x$ de $x$ $U_x\bigcap A\setminus\{x\}\neq \emptyset.$ Aquí la base es la misma que la subbase. $U_x=\cup_{a\in\mathbb{R}}(a,\infty).$ Asumimos que $x\notin A$. Dado que, $$A\bigcap \left(\cup_{a\in\mathbb{R}}(a,\infty)\right)\neq \emptyset.$$ Después de eso me quedé atascado.

Answer 1

Comenzando con cierta subbase, se puede encontrar una base tomando intersecciones finitas de elementos de la subbase. Al hacer esto en este caso, aprendemos que la colección $\{(a,\infty)\mid a\in\mathbb R\}$ no solo es una subbase sino también una base de $\tau$. Simplemente porque está cerrada bajo intersecciones finitas.

Los conjuntos abiertos son uniones arbitrarias de elementos de la base y en segundo lugar aprendemos que: $$\tau=\{(a,\infty)\mid a\in\mathbb R\}\cup\{\varnothing,\mathbb R\}$$

Entonces, la colección de conjuntos cerrados es: $$\{(-\infty,a]\mid a\in\mathbb R\}\cup\{\mathbb R,\varnothing\}$$

Eso significa que la clausura de un conjunto $A$ tendrá la forma $(-\infty,\sup A]$ si $\sup A<\infty$ y será $\mathbb R$ si $\sup A=\infty$.

Si $x\in \bar{A}$ entonces $x<\sup A$ o $x=\sup A$

Si $x<\sup A$ entonces existe $a\in A$ con $x

Si $xcada$U\in\tau$que contiene a$x$.

Esto porque $U=\mathbb R$ o $U=(y,\infty)$ para algún $y

Eso significa que la secuencia $(x_n)$ prescrita por $x_n=a$ converge a $x$.

Si $x=\sup A$ y $\sup A\in A$ entonces de la misma manera con $x_n=\sup A\in A$.

Si $x=\sup A$ y $\sup A\notin A$ entonces existe una secuencia $(x_n)$ con $x_n\in A$ y $\lim_{n\to\infty}x-x_n=0$.

Entonces para cada $U\in\tau$ con $x\in U$ tenemos $x_n\in U$ para $n$ lo suficientemente grande, entonces $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.