Sea $\phi(x)$ una función convexa de una variable real positiva $x$. Si es dos veces diferenciable, es un ejercicio trivial demostrar que la función $F(x)=x \phi\left(\frac{1}{x}\right)$ es convexa. Estoy tratando de probar la convexidad de $F$ en el caso más general. ¿Alguna pista?
Respuesta
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Esto es cierto sin ningún tipo de suposiciones sobre la diferenciabilidad, y se puede verificar directamente usando la definición de convexidad:
Para $0 < x < y < z$ es $$ F(y) = y \phi\left(\frac 1y\right) \le y \left\{ \frac{1/x-1/y}{1/x-1/z}\phi\left(\frac 1z\right) +\frac{1/y-1/z}{1/x-1/z}\phi\left(\frac 1x\right) \right\} \\ = \ldots = \frac{z-y}{z-x}F(x) + \frac{y-x}{z-x}F(z) \, , $$, usando la desigualdad de convexidad para $\phi$ en los argumentos $1/z < 1/y < 1/x$.
