Cuando se tensoring con un módulo de representable por un esquema?

Question

Considere lo siguiente: Vamos a $A$ ser un anillo conmutativo, vamos a $M$ $A$- módulo. Cuando es el functor de $A$-álgebras de Conjuntos dada por $R \mapsto R \otimes M$ representable por una $A$-esquema?

A menos de que he cometido un error, este es siempre un fpqc gavilla. Al $M$ es un finitely libres generados por el A-módulo, a continuación, $\mathrm{Spec}( \mathrm{Sym}^\bullet M^*)$ hace el truco.

Answer 1

Al $A$ es noetherian y $M$ es finitely generado, Nitin Nitsure mostró que el functor es representable si y sólo si $M$ es proyectiva (ver http://arxiv.org/abs/math/0308036).

Answer 2

Respuesta parcial: Si $M\otimes\kappa(\mathfrak p)$ es infinito-dimensional para algunos prime $\mathfrak p$$A$, entonces el functor no es representable.

Prueba: Podemos suponer que la $A=k$ misma es un campo y $M=k^{(I)}$ para un conjunto infinito $I$. Supongamos que existe una representación de esquema de $X$ (por lo $X(R)=R^{(I)}$), y deje $x$ denotar la racional punto correspondiente a $0\in M$. Para un filtrado sistema de inducción de anillos de $R_i$, se puede calcular el $\varinjlim R_i$ como límite inductivo de abelian grupos, por lo que los viajes con la suma directa de $R_i^{(I)}$, por lo $X(\varinjlim R_i)=\varinjlim X(R_i)$. Ahora EGA IV, 8.14.2 nos dice que $X$ es localmente finito de tipo más de $k$, en particular, $\mathcal O_{X,x}$ tiene dimensión finita.

Es evidente que existe una monomorphism $X\to\mathbb A^I=\mathrm{Spec}(k[T_i\mid i\in I])$, lo $X$ está separado. Elija una incrustación $\mathbb N\to I$. Para cada una de las $n$, obtenemos un monomorphism $i_n\colon\mathbb A^n\to X$ que es una sección para la proyección de $X\to\mathbb A^n$, lo $i_n$ es un cerrado de incrustación, cuya imagen contiene $x$. Esto implica que $\mathcal O_{X,x}$ tiene cocientes de forma arbitraria gran dimensión, la contradicción.

(EDIT) de UNA manera diferente a la conclusión de que es mediante la comparación de lo finito-dimensional de Zariski el espacio de la tangente con las elevaciones de $x\in X(k)$ $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$valores de punto, y estas elevaciones están dadas por $(k\cdot\epsilon)^{(I)}\subset(k[\epsilon]/(\epsilon^2))^{(I)}$. El uso de la monomorphism a $\mathbb A^I$ a deducir que los dos vectores del espacio de las estructuras de acuerdo.