Unión finita de subespacios paracompactos cerrados es paracompacto.

Question

Este es un ejercicio del Munkres, Sección 41, ejercicio 7)a:

Si $X$ es regular y es una unión finita de subespacios paracompactos cerrados de $X$, entonces $X$ es paracompacto.

Bueno, intenté demostrarlo para solo dos, es decir, $X = K_1 \cup K_2$, con $K_1$ y $K_2$ subespacios cerrados paracompactos. Entonces, por inducción, podré hacerlo para $m$ subespacios finitos.

Ahora, dada una cubierta abierta de $X$, $\{U_i\}_{i\in I}$, quiero encontrar un refinamiento localmente finito. Como tanto $K_1$ como $K_2$ son paracompactos, entonces tengo refinamientos localmente finitos $\{V^{1}_j\}_{j\in J}$ y $\{V^{2}_j\}_{j\in J}$ para $K_1$ y $K_2$ respectivamente. Pero ahora estoy perdido, no sé cómo usar esto, o el hecho de que $K_i$ son cerrados, tal vez tengo que definir $\{V^{1}_j \cap K_2 \}_{j\in J}$ o algo así.

Si me puedes echar una mano, lo apreciaría.

Gracias

Answer 1

Sea $\mathcal{U}$ un recubrimiento abierto de un espacio regular $X=\bigcup_\mathbb{N}X_n$ que es una unión de subespacios paracompactos cerrados contables $X_n\subseteq X$ cuyos interiores $(X_n)^\circ$ cubren $X$.

Para cada $n\in\mathbb{N}$ la familia $\mathcal{U}_n=\{U\cap X_n\}_{U\in\mathcal{U}}$ es un recubrimiento abierto de $X_n$ paracompacto. Así, hay una familia $\mathcal{V}_n'$ de subconjuntos abiertos de $X$ que tiene la propiedad de que $\{V\cap X_n\}_{V\in\mathcal{V}'_n}$ es un refinamiento abierto localmente finito (en $X_n$) de $\mathcal{U}_n$. Escribimos $\mathcal{V}_n=\{V\cap(X_n)^\circ\}_{V\in\mathcal{V}'_n}$ para obtener una familia localmente finita de subconjuntos abiertos de $X$ que cubre el interior $(X_n)^\circ$ y refina $\mathcal{U}_n$.

La colección $$\mathcal{V}=\bigcup_\mathbb{N}\mathcal{V}_n$$ es ahora un refinamiento abierto $\sigma$-localmente finito de $\mathcal{U}$, por lo tanto tenemos un refinamiento abierto localmente finito de $\mathcal{U}$, es decir, es paracompacto.

Answer 2

Recuerda que si $X$ es regular, entonces las siguientes condiciones sobre $X$ son equivalentes:

1. Cada cubrimiento abierto de $X$ tiene una refinación que es un cubrimiento abierto de $X$ y localmente finito.
2. Cada cubrimiento abierto de $X$ tiene una refinación que es un cubrimiento cerrado de $X$ y localmente finito.

(Esto es el Lema 41.3 en Munkres)

Esto significa que tenemos dos refinaciones cerradas localmente finitas cubriendo $K_1$ y $K_2$, y dado que $K_1$ y $K_2$ son cerrados, la unión de estos cubrimientos es cerrada en nuestro espacio $X$. Debería quedar claro que la unión de estos cubrimientos cerrados también es una refinación de tu cubrimiento abierto sobre $X$. La unión también es localmente finita ya que para cada $x$ en $X$ hay vecindarios $U_1$ y $U_2$ que intersecan solo finitos elementos de los cubrimientos cerrados de $K_1$ y $K_2$ respectivamente, por lo tanto, el conjunto abierto $U_1 \cap U_2$ interseca solo finitos elementos de la cubrición cerrada de $X$. Por lo tanto, hemos encontrado que para cada cubrimiento abierto de un espacio regular $X$ hay una refinación que es un cubrimiento cerrado de $X$ y localmente finito. Esto es equivalente a la paracompacidad de $X$ según el Lema 41.3. Esto debería extenderse fácilmente a cualquier unión finita de subespacios paracompactos sin necesidad de usar inducción, las intersecciones finitas de vecindarios abiertos de $x$ seguirán siendo abiertas.