Encontrar una estadística suficiente mínima y demostrar que es incompleta

Question

Supongamos que tengo pares independientes $(x_i,y_i)$ $i=1,2...n$

Donde $y_i=\theta x_i+\epsilon_i$ y los $x_i's$ y $\epsilon_i's$ son iid $\sim N(0,1)

y la función de verosimilitud para $\theta$ está dada por:

$L(\theta|(x_i,y_i)'s)=(\frac{1}{2\pi})^ne^{-\frac12\sum x_i^2-\frac12\sum (y_i-\theta x_i)^2}$

¿Cómo encuentras una estadística suficiente mínima para $\theta$? ¿Cómo se muestra que esta estadística es incompleta?

Estoy teniendo problemas tratando de aplicar el teorema de factorización a la pdf bivariante. No puedo ver cómo puedo aislar una estadística suficiente, y mucho menos verificar si es suficiente mínima.

Answer 1

Puede ser útil si expandes el cuadrado en el exponencial:

$$L(\theta ; \textbf{x},\textbf{y}) = \left(\frac{1}{2\pi}\right)^ne^{-\frac{1}{2}(\sum x_i^2+\sum y_i^2) -\frac{1}{2}(2\theta\sum x_iy_i + \theta^2\sum x_i^2)}$$

1. Desde aquí, puedes aplicar el teorema de factorización para encontrar una estadística suficiente (bidimensional), $(T_1,T_2)$ para $\theta$.

2. Para mostrar suficiencia mínima, supongamos que $\textbf{X'}$ y $\textbf{Y'}$ fueran otra muestra de la misma distribución. Si la proporción de densidades de probabilidad, $\dfrac{L(\theta ; \textbf{x},\textbf{y})}{L(\theta ; \textbf{x'},\textbf{y'})}$ es independiente de $\theta$ si y solo si $T_1(\textbf{X},\textbf{Y}) = T_1(\textbf{X'},\textbf{Y'})$ y $T_2(\textbf{X},\textbf{Y}) = T_2(\textbf{X'},\textbf{Y'})$, entonces $(T_1,T_2)$ es suficiente de forma mínima.

3. Para demostrar que $(T_1, T_2)$ no es completo, necesitas construir una función $g(T_1,T_2)$ tal que $\mathbb{E}[g(T_1,T_2)] = 0$, pero $g(T_1,T_2)$ no es idénticamente $0$. Como pista, ¿cuál es $\mathbb{E}[X^2 - 1]$?