$T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ mapea subespacios lineales en subespacios lineales. ¿Implica esto que $T$ es un mapa lineal?

Question

Sea $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ una función con la propiedad de que $T$ mapea subespacios lineales en subespacios lineales, ¿es cierto que $T$ es una función lineal?

Estoy pensando en usar el hecho de que una función lineal en $\mathbb{R}^2$ mapea una línea que pasa por el origen a una línea a través del origen o al origen.

Pienso que $T$ no es una función lineal. Pero no he sido capaz de encontrar contraejemplos.

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, hay muchos contraejemplos - $T(v) = |v|v$ es el más fácil en mi opinión. Mapea líneas a través del origen a líneas a través del origen, por lo tanto cumple la condición que impusiste, sin embargo obviamente no es lineal ya que $T(\alpha v) = \alpha^2 v$.

Sin embargo, lo interesante es que si impones una condición adicional de que todas las líneas (no solo a través del origen) se mapeen a líneas, ¡entonces tu conclusión es realmente cierta! Voy a explicar eso.

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Sea $k$ un campo arbitrario y $k^2$ un espacio afín de dos dimensiones, es decir, básicamente el conjunto de todas las tuplas de escalares de $k$. Supongamos que $F : k^2 \to k^2$ es una función biyectiva que mapea líneas a líneas. Entonces, como $F$ es una biyección, mapea líneas paralelas a líneas paralelas y por lo tanto paralelogramos a paralelogramos. Concluimos que si $a, b, c, d$ son 4 puntos de $k^2$ tales que $\overrightarrow{ab} = \overrightarrow{cd}$, entonces $\overrightarrow{F(a)F(b)} = \overrightarrow{F(c)F(d)}$. Así que obtenemos que $F$ induce un mapa correctamente definido en vectores, que llamaré $D_F$. Mi objetivo es entonces mostrar que $D_F$ es semilineal, es decir, $D_F(u + w) = D_F(u) + D_F(w)$ y existe tal automorfismo $\psi: k \to k$ del campo base, tal que para cada $\lambda \in k$, $v \in k^2$ tenemos $D_F(\lambda v) = \psi(\lambda) D_F(v)$.

Toma dos vectores no colineales $u, w \in k^2$. Entonces el paralelogramo con lados $u$ y $w$ se mapea a un paralelogramo con lados $D_F(u)$ y $D_F(w)$ y por lo tanto su diagonal $u + w$ se mapea a una diagonal del paralelogramo en la imagen, que es $D_F(u) + D_F(w)$. Así que $D_F$ es aditiva (incluso si $u$ y $w$ fueran colineales, podríamos presentar $u$ como una suma de dos vectores ninguno de los cuales es colineal a $w$ y utilizar la aditividad para vectores no colineales para obtener la identidad deseada).

Ahora con $\psi$ es un poco más complicado. Ya que $F$ mapea líneas a líneas, $D_F$ mapea vectores colineales a $v$ a vectores colineales a $D_F(v)$. Entonces para cada vector $v$ tenemos un mapeo $\psi_v: k \to k$ definido por la propiedad de que $D_F(\lambda v) = \psi_v(\lambda)D_F(v)$. Dado que $D_F$ es biyectiva, $\psi_v$ también es biyectiva. Ahora tomemos $u$ y $w$ como vectores no colineales. Forman una base para $k^2$, por lo tanto $D_F(u)$ y $D_F(w)$ también forman una base para $k^2$. Entonces tenemos $$\psi_u(\lambda) D_F(u) + \psi_w(\lambda) D_F(w) = D_F(\lambda u) + D_F( \lambda w) = D_F(\lambda(u + w)) = \psi_{u + w}(\lambda)D_F(u + w) = \psi_{u + w}(\lambda)D_F(u) + \psi_{u + w}(\lambda)D_F(w).$$ Nota que utilizamos la aditividad recién demostrada dos veces. Así que obtenemos que $\psi_u(\lambda) = \psi_w(\lambda)$ para cada $\lambda$ y por lo tanto estas funciones son iguales. Si $u$ y $w$ fueran colineales, tomemos $v$ no colineal con ninguno de ellos y utilicemos lo que acabamos de probar. Así que en realidad obtenemos un mapeo biyectivo bien definido $\psi: k \to k$. Ahora queda mostrar que es un morfismo de campos.

Pero es relativamente fácil en comparación con lo que acabamos de hacer :). Tomemos cualquier vector distinto de cero $v$ y entonces $$\psi(\lambda + \mu) D_F(v) = D_F(\lambda v + \mu v) = \psi(\lambda)D_F(v) + \psi(\mu)D_F(v) = (\psi(\lambda) + \psi(\mu))D_F(v).$$ Además $$\psi(\lambda\mu)D_F(v) = D_F\left(\lambda(\mu v)\right) = \psi(\lambda)D_F(\mu v) = \psi(\lambda)\psi(\mu)D_F(v).$$ Así obtenemos la igualdad deseada.

Hemos demostrado que cada mapeo de espacio afín de 2 dimensiones que envía líneas a líneas induce un mapeo semilineal en vectores. Si el origen está fijo, entonces por supuesto el mapeo en sí es semilineal.

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Lo único que queda por notar es que en el caso de $\mathbb{R}$ este mapeo también es monótono: si $a \leq b$, entonces $b - a = c^2$ por lo tanto $\psi(b) - \psi(a) = \psi(a - b) = \psi(c)^2 \geq 0$.

El único automorfismo monótono del campo de $\mathbb{R}$ es el morfismo identidad. Es fácil verlo ya que cualquier automorfismo de $\mathbb{R}$ fija su subcampo primo $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}$ está en todas partes densamente contenida en $\mathbb{R}$.

Así que el mapeo semilineal discutido es de hecho lineal cuando trabajamos sobre el campo de números reales $\mathbb{R}$.