Evaluar las integrales

Question

Tengo problemas para integrar estos, todos estos tienen que hacerse sin calculadora. Estos son solo un par que tengo que hacer. No estoy seguro si simplemente substituir con U o hacer integración por partes o si usar identidades trigonométricas para cambiarlos. Mostrarme cómo responder cualquiera de estos me ayudaría mucho

$$\tag{a}\int_0^{\pi\over 3}\sin^2{3x}dx$$

$$\tag{b}\int_0^{\pi\over 3}\tan^4{x}dx$$

$$\tag{c}\int\sin^4{3x}\cos^3{3x}dx$$

Answer 1

CONSEJO 1:

Para $\sin^2 (3x)$, usar $\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$.

CONSEJO 2:

Para $\tan^4x$, usar $\tan^2=\sec^2-1$ y $\frac{d\tan x}{dx}=\sec^2 x$.

CONSEJO 3:

Para $\sin ^4 3x\cos ^3 3x$, usar $\cos ^2y=1-\sin^y$.

Answer 2

PISTAS:

a) $$\int_{0}^{\pi/3}\sin^2(3x)dx=\int_{0}^{\pi/3}\frac{1-\cos (6x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}\cos(6x)dx$$

b) $$\int_{0}^{\pi/3}\tan^4xdx=\int_{0}^{\pi/3}\tan^4x\frac{\sec^2 x}{\sec^2 x}dx$$$$=\int_{0}^{\pi/3}\frac{\tan^4 x\sec^2 x}{1+\tan^2 x}dx$$$$=\int_{0}^{\pi/3}\tan^2x\sec^2xdx-\int_{0}^{\pi/3}\sec^2xdx+\int_{0}^{\pi/3}\frac{\sec^2 x}{1+\tan^2 x}dx$$

c) $$\int \sin^4 (3x)\cos^3 (3x)dx=\int \sin^4 (3x)\cos^2 (3x)\cos (3x)dx$$$$=\int \sin^4 (3x)(1-\sin^2 (3x))\cos (3x)dx$$$$=\int \sin^4 (3x)\cos (3x)dx-\int \sin^6(3x)\cos (3x)dx$$

Answer 3

Para la Primera Integral $\displaystyle I = \int \sin^2 3xdx..........(1)$

Ahora Sea $\displaystyle J = \int \cos^2 3xdx.................(2)$

Entonces $\displaystyle J+I = \int 1dx = x+\mathcal{C_{1}}$

y $\displaystyle J-I = \int (\cos^2 3x-\sin^2 3x)dx = \int \cos 6xdx = \frac{\sin 6x}{6}+\mathcal{C_{2}}$

Así obtenemos $\displaystyle 2I = x-\frac{\sin 6x}{6}+\mathcal{C}\;,$ Donde $\displaystyle \mathcal{C}= \mathcal{C_{1}}+\mathcal{C_{2}}$

Entonces obtenemos $\displaystyle I = \frac{x}{2}-\frac{\sin 6x}{12}+\mathcal{C_{3}}$

$(b)\;\;$ Sea $\displaystyle \int \tan^{4}xdx\;,$ Ahora Sea $\displaystyle \tan x= t\;,$ Entonces

$\displaystyle \sec^2 xdx = dt\Rightarrow dx = \frac{1}{1+\tan^2 x}dt = \frac{1}{1+t^2}dt$

Así obtenemos $\displaystyle I = \int\frac{t^4}{1+t^2}dt = \int\frac{(t^4-1)+1}{1+t^2}dt = \int\frac{(t^4-1)}{1+t^2}dt+\int\frac{1}{1+t^2}dt$

Así obtenemos $\displaystyle \int\frac{(t^2+1)\cdot (t^2-1)}{t^2+1}dt+\int\frac{1}{1+t^2}dt$

Así obtenemos $\displaystyle I = \frac{t^3}{3}-t+\tan^{-1}(t)+\mathcal{C}=\frac{(\tan x)^3}{3}-\tan x+\tan^{-1}(\tan x)+\mathcal{C}$