¿El derivado de la restricción es igual a la restricción del derivado?

Question

Considera una función $f$ definida sobre una variedad $n$-dimensional $\mathcal{M}$ y suponga que $f$ es la restricción de una función $g$ definida sobre un espacio vectorial de dimensión $n+1$.

Ejemplo: $$f:\mathcal{S}^2\ni u\mapsto \dfrac{u}{\|u\|}\quad \text{y}\quad g:\mathbb{R}^3\ni v\mapsto \dfrac{v}{\|v\|}.$$

Pregunta: ¿Bajo qué condiciones los derivados covariantes de $f$ y $g$ coinciden en $\mathcal{M}$? En otras palabras, ¿es el derivado de la restricción igual a la restricción del derivado?

Answer 1

Sí: para ver esto, use la regla de la cadena y la identificación usual $T_pM\simeq di_p(T_pM)\subset\mathbb{R}^{n+1}$, donde $i:M\to \mathbb{R}^{n+1}$ es la inclusión. Es decir, tienes por definición que $f|_M=f\circ i$, y

$$d(f|_M)_p=d(f\circ i)_p=df_{i(p)}\circ di_p=df_p\circ di_p$$

conduce a $d(f|_M)_p=df_p|_{T_pM}$.