$ \sqrt{3} (x \dot{x} + y \dot{y} ) = \dot{x} y - x \dot{y} $

Question

Estoy intentando resolver esta ecuación diferencial para $x=x(t)$, $y=y(t)$ satisfaciendo $ \sqrt{3} (x \dot{x} + y \dot{y} ) = \dot{x} y - x \dot{y} $

y

$ \dot{x} ^2 + \dot{y} ^2 = v^2 =constante $

con valor inicial $(x(0),y(0))=(1,\sqrt{3})$ si es necesario.

Cualquier pista sería de gran ayuda para mí.

Gracias.

Answer 1

Dado que $$\dot{x}=v\cos\theta,\dot{y}=v\sin\theta\\ x=r\cos\phi,y=r\sin\phi$$ Al ponerlo en tu primera ecuación, se simplifica a $$\cos(\theta-\phi-\pi/6)=0$$
Por lo tanto, los caminos son espirales de ángulo constante.

Answer 2

En coordenadas polares, $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$, entonces $\dot x=\dot r\cos\theta-r\sin\theta\,\dot\theta$, $\dot y=\dot r\sin\theta+r\cos\theta\,\dot\theta$.

La primera ecuación se simplifica a $$\sqrt3r\dot r=-r^2\dot \theta,$$ y la segunda a $$\dot r^2+r^2\dot\theta^2=v^2,$$ es decir $$4\dot r^2=v^2,$$ o $$\color{green}{r=r_0\pm\frac{vt}2},$$ $$\dot\theta=-\sqrt3\frac{\dot r}r=\mp\frac{v\sqrt3}{2r_0\pm vt},$$ $$\color{green}{\theta=\theta_0-\sqrt3\ln\frac{2r_0\pm vt}{2r_0\pm vt_0}}.$$