Darboux Integral frente a la "Alta Escuela" Integral

Question

La definición de la integral de abajo es lo que me suele llamar la "Escuela de Alta definición," ya que es generalmente donde yo la he visto en uso.

Tomar una partición $\Delta = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n\}$, donde $$a = x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_{n-1} \leq x_n = b$$ of an interval $[a, b]$, such that $\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$ is constant, and define the norm of this partition $||\Delta||$ by $$||\Delta||=\frac{b-a}{n}.$$ Let $c_i$ be any point in $[x_{i-1}, x_i]$. If the following limit exists, then we call it the definite integral of a function $f$ on $[a, b]$. $$\lim_{||\Delta|| \to 0}\sum_{i=1}^nf(c_i)\Delta x_i = \int_{a}^bf(x)\ dx.$$

La integral se utiliza a menudo en la más avanzada de los libros de texto (que no son lo suficientemente avanzado como para dentro de Riemann-Stieltjes integrales o integración de Lebesgue), que creo que se llama el "Darboux integral", la he visto definido más o menos la siguiente.

Tomar una partición $\Delta$ de un intervalo de $[a, b]$, en el mismo caso que el anterior, y definir $$m_i=\inf\{f(x) : x_{i-1} \leq x \leq x_i \},$$ $$M_i = \sup\{ f(x) : x_{i - 1} \leq x \leq x_i \}.$$ A continuación, la parte inferior y superior de las sumas de $f$ para la partición de $\Delta$ se definen como $$L(f, \Delta) = \sum_{i = 1}^n m_i(x_i - x_{i - 1}),$$ $$U(f, \Delta) = \sum_{i = 1}^n M_i(t_i - t_{i - 1}).$$

Después de la molestia de probar (no voy a escribir, como es largo e irrelevante) que para cualquiera de las dos particiones $\Delta_1, \Delta_2$, lo que hemos $$L(f, \Delta_1) \leq U(f, \Delta_2),$$ it is stated that if we have $$\sup\{ L(f, \Delta) : \Delta\ \mathrm{is\ a\ partition\ of\ } [a, b] \} = \inf\{ U(f, \Delta) : \Delta\ \mathrm{is\ a\ partition\ of\ } [a, b] \}$$ then we define this common value to be $$\int_{a}^{b} f(x)\ dx.$$

Parece que la "Alta Escuela" definición " es mucho más simple que la integral de Darboux, así que mi pregunta es: ¿por qué la última definición aparecen a menudo en la más avanzada de textos (por ejemplo, Spivak del Cálculo)? Son estas dos definiciones equivalentes, o no cada uno tiene sus ventajas sobre el otro? Supongo que la primera definición es la preferida en la mayoría de los de menor nivel de clases, ya que evita la necesidad de $\sup$'s y $\inf$'s, pero eso todavía no explica por qué la segunda definición es usada en otros textos (sobre todo porque parece tomar mucho más tiempo a construir).

Answer 1

Como usted señaló, Darboux la definición que utiliza el infimum y el supremum de todo, que no es un concepto que por lo general los estudios en la secundaria. Por otra parte, la definición de uso de la malla de particiones que se van a cero es algo sucio cuando se trata de un trabajo riguroso, y que es algo difícil de comprobar integrabilidad de usarlo frente a Darboux del criterio. Sin embargo, es bastante convincente para los estudiantes a considerar la integral como una aproximación utilizando sumas de rectángulos, por lo que la "alta escuela" definición puede ser más natural que en un primer momento. Es razonable que en favor de las buenas definiciones, libros como Spivak del Cálculo uso de Darboux de la definición que le da un limpiador de exposición.

Uno puede mirar en más detalles que demuestran por qué Darboux la definición de (tal vez) mejor. Para cada una de las $\delta >0$ se puede definir $U_\delta=\{P\text{ is a (tagged) partition of } [a,b]:\lVert P\rVert <\delta\}$. Observar que $\delta_1<\delta_2\implies U_{\delta_1}\subseteq U_{\delta_2}$, de modo que cada conjunto es comparable con cada uno de los otros, y $\bigcap_{\delta >0}U_\delta=\varnothing$. En este sentido, hemos de decir que la colección de $\{U_\delta:\delta >0\}$ define una dirección en el conjunto de particiones de $[a,b]$. Observar cómo se punza bolas $B'(x,\delta)$ definir una dirección en el conjunto de nbhds de un punto de un espacio métrico, o cómo las colas $\{n,n+1,n+2,\ldots\}$ definir una dirección en el conjunto de los números naturales.

Con esto en mente, podemos decir $I=\displaystyle\int\limits_a^b f$ si para cada una de las $\varepsilon >0$ existe $U_\delta$ tal que para cualquier $P\in U_\delta$, $|R(f,P)-I|<\varepsilon$. De nuevo, esto es un poco problemático: tenemos que escoger una partición arbitraria y un conjunto arbitrario de etiquetas y encontrar un candidato adecuado para $I$, y verificar la desigualdad para cualquier partición de este tipo.

Por otro lado, sabemos que $\sup_PL(f,P)$ $\inf_P\{U(f,P)\}$ siempre existen, y tenemos un teorema que afirma que $L(f,P_n)\to \underline{\int_a^b f}$ para una secuencia de particiones $P_1,P_2,\ldots$ siempre sólo que $\lVert P_n\rVert \to 0$. Esto ayuda enormemente en la evaluación de las integrales, la solicitud de celebración de $U(f,P_n)$. Este es, de hecho, el teorema de uno de los usos (tal vez sin saberlo) al evaluar la integral de decir una función continua por medio de regular las particiones y los límites de las sumas de Riemann.

Por otra parte, Darboux la idea se traduce en la (muy útil) criterio de Riemann, es decir, que para cada una de las $\varepsilon >0$ podemos encontrar dos particiones $P,P'$ tal que $$U(f,P)-L(f,P')<\varepsilon$$

Esto a su vez se traduce en una forma más geométrica de la imagen: que, para cada una de las $\varepsilon >0$; podemos encontrar el paso de las funciones de $s,t$ $s\leqslant f\leqslant t$ $$\int_a^b t-\int_a^b s<\varepsilon$$

De hecho, uno puede comprobar que $$\overline{\int_a^b}f=\inf_{f\leqslant t}\int_a^b t$$ $$\underline{\int_a^b}f=\sup_{s\leqslant f}\int_a^b s$$

donde $s,t$ siempre paso las funciones. Esta idea algo, pasa a Lebesgue la integral, lo cual también podría dar Darboux la visión de otro punto. Darboux integral de hecho es equivalente a la integral de Riemann.

La moral es, tal vez, siempre es más fácil trabajar con suprema y infima, más que con ningún tipo de límites. Los primeros son generalmente mucho más portaron bien y llevar a la más simple de las pruebas, por ejemplo.

Un comentario en

"...sobre todo porque parece tomar mucho más tiempo para construir."

Yo diría que una razón por la que Darboux la definición es mucho más útil es precisamente porque se ha tomado el tiempo para construir cuidadosamente!