Cómo calcular el área de un círculo mediante la integración entre dos funciones

Question

Estoy realmente perdido en este problema que me han dado en mi tarea de matemáticas y he intentado revisar todas mis notas y preguntar a mi profesor, pero él ya no tiene más tiempo para ayudarme, así que necesitaré la ayuda de ustedes chicos :)

De todas formas, se supone que debo calcular el área de una placa de un columpio para niños, que se ve así

He calculado todo menos el área que se muestra aquí en rojo:

Y mi profesor me dijo lo siguiente:

Determina la función para las piezas periféricas relevantes del círculo y determina, mediante integración, el área entre las gráficas de dos funciones.

Así que tengo que encontrar las funciones para las curvas relevantes que me darán el área restante al hacer lo anterior. La cuestión es que no sé cómo hacerlo cuando solo conozco los puntos y las curvas mostradas y no sé si puedo encontrarlo usando la ecuación del círculo tampoco.

Entonces, ¿cómo puedo hacer esto? Como dije, conozco todos los puntos y curvas. ¡Gracias de antemano! :)

Answer 1

Suponiendo que tienes el radio del círculo. Calcularía el área del segmento menor formado por los puntos G e I usando $\frac{r^2}{2}[\theta - \sin(\theta)]$ (en radianes). Luego encontrar el punto de intersección entre la curva $LG$ y la línea vertical que interseca a M, que llamaremos $\lambda$, podemos entonces integrar la curva $LG$ entre $\lambda$ y $G$ de la cual luego removeremos el área por debajo de $MI$ integrando bajo nuestro círculo entre los dos puntos! Esto se puede hacer integrando $y=-(r^2-(x-a)^2)^{0.5}-b$ para el círculo $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ entre $M$ y $I$.

Espero haber explicado el método lo suficientemente bien, si necesitas ayuda con la computación ¡déjame saber!