¿Es esta una medida de probabilidad en el conjunto de Cantor?

Question

$c$ es la función de Cantor, $C$ el conjunto de Cantor, y $\rho$ la medida de Lebesgue

Consideramos $\mu$ como $\mu(A) = \rho(c(A \cap C))$ para cada elemento del tributo

¿Está $\mu$ actualmente definiendo una medida de probabilidad en el conjunto de Cantor (significa que el soporte de $\mu$ es C)?

Tengo problemas para mostrar la sigma-aditividad...

Answer 1

Supongo que deseas definir $\mu$ en el álgebra de Borel (o Lebesgue) en $\sigma$-álgebra en $\Bbb R$.

Sea $c$ la función de Cantor, $C$ el conjunto de Cantor, y $\rho$ la medida de Lebesgue. Sea $\mathcal{B}$ el álgebra de Borel en $\sigma$-álgebra en $\Bbb R$.

Sea $\mu(A) = \rho(c(A \cap C))$ para cada elemento $A \in \mathcal{B}$.

Primero, debemos probar que $\mu$ está bien definida. Esto significa que debemos probar que si $A \subseteq \Bbb R$ es medible de Borel, entonces $c(A\cap C)$ es medible de Borel (o Lebesgue), para poder tener $\rho(c(A \cap C))$.

Sea $\Sigma =\{A \subseteq \Bbb R: \exists E \subseteq [0,1] \textrm{ medible de Borel, tal que } A\cap C=c^{-1}(E) \}$. Es fácil probar que $\Sigma$ es un $\sigma$-álgebra y que, dado que $c$ es monótona, cada intervalo abierto está en $\Sigma$. Por lo tanto, $\mathcal{B} \subseteq \Sigma$. Entonces, si $A \subseteq \Bbb R$ es medible de Borel, existe $E$ medible de Borel tal que $A\cap C=c^{-1}(E)$, por lo tanto, dado que $c: C \rightarrow [0,1]$ es sobreyectiva, tenemos que $c(A\cap C)=E$ es medible de Borel. Entonces, $\mu$ está bien definida.

Ahora probemos que $\mu$ es una medida. Tenemos que $$\mu(\emptyset) = \rho(c(\emptyset \cap C)) =\rho(c(\emptyset )) = \rho(\emptyset) =0$$

Ahora, sea $\Gamma =\{ y\in [0,1] : \exists a,b \in C, a\neq b \textrm{ y } y=c(a)=c(b)\} $. Es fácil probar que $\Gamma$ es numerable y por lo tanto $\rho(\Gamma)=0$.

Ahora sean $A$ y $B$ conjuntos medibles disjuntos de $\Bbb R$. Entonces, $A \cap C$ y $B \cap C$ son conjuntos medibles disjuntos de $C$. Nota que $c(A \cap C)$ y $c(B \cap C)$ pueden no ser disjuntos, porque $c$ (aunque restringido a $C$) no es inyectivo, pero $c(A \cap C) \cap c(B \cap C) \subseteq \Gamma$. Por lo tanto, $\rho(c(A \cap C) \cap c(B \cap C))=0$. Por lo tanto, tenemos \begin{align*} \mu(A \cup B) & = \rho(c((A \cup B)\cap C)) =\\ & = \rho(c((A\cap C) \cup ( B \cap C))) = \\ &=\rho(c(A\cap C) \cup c(B\cap C)) = \\ & = \rho(c(A\cap C)) + \rho(c(B\cap C)) - \rho(c(A\cap C) \cap c(B\cap C)) = \\ & = \rho(c(A\cap C)) + \rho(c(B\cap C)) = \\ & = \mu(A) + \mu(B) \end{align*}

Ahora para demostrar que $\mu$ es $\sigma$-aditiva, es suficiente con demostrar que $\mu$ es continua por debajo.

Supongamos que $\{A_i\}_i$ es una familia monótona no decreciente de conjuntos medibles de $\Bbb R$. Entonces $\{A_i \cap C\}_i$ es una familia no decreciente monótona de conjuntos medibles de $C$. Luego, $\{c(A_i \cap C)\}_i$ es una familia no decreciente monótona de conjuntos medibles de $[0,1]$. Por lo tanto, tenemos

\begin{align*} \mu \left (\bigcup_i A_i \right )& = \rho \left (c \left ( \left ( \bigcup_i A_i \right )\cap C \right ) \right ) = \\ &= \rho \left ( \bigcup_i c(A_i \cap C) \right) = \\ &= \lim_i \rho(c(A_i \cap C)) = \\ & = \lim_i \mu(A_i) \end{align*}

Por lo tanto, $\mu$ es $\sigma$-aditiva.

Es inmediato que $\mu(\Bbb R)= \rho(c(\Bbb R \cap C))=\rho(c(C))=\rho([0,1])=1$. Por lo tanto, $\mu$ es una probabilidad. También es inmediato que si $A\cap C=\emptyset$ entonces $\mu(A)= \rho(c(A\cap C)) =\rho(c(\emptyset))=\rho(\emptyset) = 0$. Por lo tanto, el soporte de $\mu$ es $C$.