Si desea medir la proyección del espín de una partícula de espín $\tfrac12$ a lo largo de una dirección particular $\vec n$ en el espacio (donde $\|\vec n\|^2=1$), la forma más conveniente es definir las matrices de Pauli en algún sistema de coordenadas específico: así, convencionalmente, $$ \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\quad\text{y}\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, $$ normalizado a $[\sigma_i,\sigma_j]=2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$, en la base propia de $\sigma_z$ - y tomar el producto punto de su vector $\vec n=(n_x,n_y,n_z)$ con el vector de matriz Pauli $\vec\sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ (es decir, un vector cuyos componentes son operadores, igual que el momento) para obtener $$ \sigma_\vec n=\vec n\cdot\vec\sigma=n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z=\begin{pmatrix} n_z&n_x-in_y\\n_x+in_y & -n_z \end{pmatrix}. $$
Este operador representa la proyección del momento angular a lo largo del eje $\vec n$. Tiene dos eigenvectores, que voy a denotar $|\vec n\rangle$ y $|-\vec n\rangle$, con un espín positivo y negativo bien definidos a lo largo de este eje, respectivamente.
Si su vector tiene coordenadas esféricas $(\theta, \phi)$, entonces estos eigenvectores tendrán esas mismas coordenadas exactas, y su antípoda, en la esfera de Bloch. En la base de $\sigma_z$ pueden ser representados como $$|\vec n\rangle=\cos(\theta/2)|\uparrow\rangle+e^{i\phi}\sin(\theta/2)|\downarrow\rangle$$ y su complemento ortogonal, donde $\vec n=(\sin(\theta)\cos(\phi),\sin(\theta)\sin(\phi),\cos(\phi))$. Es un buen ejercicio demostrar que estos son de hecho eigenvectores.
En términos de los eigenvectores, entonces, los proyectores - que dan las probabilidades de que una medición arroje las direcciones $+\vec n$ o $-\vec n$, son $|\vec n\rangle\langle\vec n|$ y $|-\vec n\rangle\langle-\vec n|$, respectivamente.
Si esto se ve un poco complicado, no se preocupe demasiado y sumérjase en los cálculos. Si $\vec n$ es simple - como sus polarizaciones de 45° - así serán sus operadores, proyectores y eigenvectores.
No estoy seguro de qué estás preguntando realmente en tu segunda pregunta. Si estás eligiendo mediciones al azar, necesitas tener mucho cuidado con lo que quieres decir. Si en cada ejecución elijo aleatoriamente el eje de medición para que sea $x$ o $z$, entonces el operador correspondiente será $\sigma_x$ o $\sigma_z$.
En mi registro registraré (o al menos puedo, en principio) el eje de medición y el resultado. Las probabilidades para cada resultado serán los valores esperados de los proyectores correspondientes: obtener un $+$ en una medición de $z$ tiene una probabilidad $\langle\psi|\uparrow\rangle\langle\uparrow{}|\psi\rangle$, obtener un $-$ en una medición de $x$ tiene una probabilidad $\langle\psi|-\rangle\langle-|\psi\rangle$, y así sucesivamente.
La situación cambia, por supuesto, si empiezas a "olvidar" algunos de esos valores. Por ejemplo, podrías apuntar tu medición a lo largo de los ejes $x$ o $z$ positivos (aleatoriamente, con probabilidades $p_x$ y $p_z$), pero solo registrar el resultado. En este caso solo se puede preguntar por la probabilidad de obtener un resultado $+$ o $-$. El primero, por ejemplo, se da por $$ p(+)=p_z\langle\psi|\uparrow\rangle\langle\uparrow|\psi\rangle+p_x\langle\psi|+\rangle\langle+|\psi\rangle. $$ Luego puedes considerar un solo operador de medición al factorizar el estado como $$ p(+)=\langle\psi|\left(\vphantom{\sum}p_z|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+p_x|+\rangle\langle+|\right)|\psi\rangle =\langle\psi|\hat P|\psi\rangle. $$ Sin embargo, $\hat P$ no es un proyector de medición bien comportado, ya que no cumple con $\hat P^2=\hat P$. Esto puede utilizarse de manera significativa para describir, por ejemplo, mediciones imperfectas, pero le aconsejaría que deje de lado tales asuntos por el momento.
