Estoy leyendo un artículo de física y me encontré con la siguiente fórmula que no puedo derivar. \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z}{z-i\alpha}e^{-\beta^2z^2}=i\pi \,sgn(\alpha)\,e^{\alpha^2\beta^2}\, erfc(|\alpha\beta|), \end{equation} donde $erfc(x)$ es la función de error complementaria y se define como \begin{equation*} erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^\infty e^{-t^2}\mathrm{d}t. \end{equation*} La fórmula es válida para $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ y distintos de cero. Cualquier comentario es apreciado.
Respuesta
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Escribe $\gamma = \alpha\beta$ y observa que
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}z}{z-i\alpha}e^{-\beta^2z^2} \stackrel{(w=\beta z)}= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}w}{w-i\gamma}e^{-w^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{i\gamma}{w^2+\gamma^2}e^{-w^2} \, \mathrm{d}w. \tag{*} $$
Ahora queremos aplicar el teorema de Plancherel. Para ello, recordemos que la transformada de Fourier unitaria $\mathcal{F}f(\xi) = \mathcal{F}[f(\bullet)](\xi) := \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-2\pi i \xi x} \, \mathrm{d}x$ satisface la siguiente identidad
$$ \int_{\mathbb{R}} f(x)\overline{g(x)} \, \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} \mathcal{F}f(\xi) \overline{\mathcal{F}g(\xi)} \, \mathrm{d}\xi $$
Junto con los siguientes cálculos bien conocidos
$$ \mathcal{F}[e^{-\bullet^2}](\xi) = \sqrt{\pi}e^{-\pi^2\xi^2}, \qquad \mathcal{F}\left[\frac{\gamma}{\bullet^2+\gamma^2}\right](\xi) = \pi \operatorname{signo}(\gamma) e^{-2\pi \lvert \gamma \xi \rvert},$$
se sigue que
$$ \text{(*)} = i \pi \operatorname{signo}(\gamma) \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\pi}e^{-\pi^2\xi^2}e^{-2\pi \lvert \gamma \xi \rvert} \, \mathrm{d}\xi = i \pi \operatorname{signo}(\gamma) e^{\gamma^2}\operatorname{erfc}(\gamma). $$
