Límite de función con parámetro

Question

Calcular $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+d)^{1+\frac{1}{x}}-x^{1+\frac{1}{x+d}}$

No tengo ni idea de qué hacer aquí: Intenté con l'Hospital, pero los cálculos son simplemente horribles. ¿Alguna idea de cómo empezar con este?

Answer 1

Esquema básico: Definir las funciones \begin{align*} f(x) &= (x+d)^{1 +1/x}-x^{1 + 1/(x+d)}, \\ g(x) &= d(x+d)^{1/x} \\ h(x) &= x\{(x+d)^{1/x} - x^{1/(x+d)}\} \end{align*} También afirmamos que $$ \lim_{x\to\infty} g(x) \stackrel{\rm (i)}{=} d \quad\mbox{y} \quad \lim_{x\to\infty} h(x) \stackrel{\rm (ii)}{=} 0. $$ De esto, concluimos, ya que $f(x) = g(x)+h(x)$, que
$$ \lim_{x\to\infty} (x+d)^{1 +1/x}-x^{1 + 1/(x+d)} = \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} g(x) + \lim_{x\to\infty}h(x) = d. $$

---

Prueba de (i):

Escribir $g(x) = d \exp(\gamma(x))$ donde $\gamma(x) = \log(x+d)/x$. Entonces, por la regla de L'Hopital $$ \lim_{x\to\infty} \gamma(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x+d} = 0. $$ Por lo tanto $\lim_{x\to\infty} g(x) = de^0 = d$.

---

Prueba de (ii): Evidentemente, podemos asumir que $d \neq 0$, de lo contrario la afirmación es obvia. Ahora, definir $$ h_1(x) = \frac{\log(x)}{x} \quad h_2(x) = \frac{\log(x+d)}{\log(x)} - 1, \quad h_3(x) = \frac{x}{x+d} - \frac{\log(x+d)}{\log(x)} $$ Entonces,
$$ h(x) = \underbrace{\exp\{h_1(x)(1+ h_2(x))\}}_{\psi(x)} \,\,\, \underbrace{x\Big(1 - \exp\{h_1(x)h_3(x)\}\Big)}_{\phi(x)} $$ Se puede verificar, por ejemplo con la regla de L'Hopital, que $\lim_{x\to\infty} h_i(x)= 0$ para $i=1,2,3$. Por lo tanto $\lim_{x\to\infty}\psi(x) = 1$ y \begin{align*} \lim_{d\to\infty} h(x) &= \lim_{x \to \infty} \psi(x)\\ &=\lim_{x\to\infty} x^2(h_1'(x) h_3(x) +h_3'(x)h_1(x)) \underbrace{e^{h_1(x) h_3(x)}}_{\to 1}\\ &=\lim_{x\to\infty} x^2(h_1'(x) h_3(x) +h_3'(x)h_1(x))\\ &= \lim_{x\to\infty} \log(d+x) - (x/(x+d))^2 \log(x) \\ &= \lim_{t\to \infty }\log \frac{t + \sigma}{t} +(1- (t/(t+\sigma))^2) \log(t) \\ &= \lim_{t\to \infty } \frac{\sigma \log(t)}{t+\sigma} \underbrace{\frac{t + 2\sigma}{t + \sigma}}_{\to 1} \\ &= \lim_{t\to\infty} \frac{\sigma \log(t)}{\sigma + t} = 0. \end{align*} Arriba, hemos hecho la sustitución $x = t|d|$ y $d/|d| = \sigma$.