En matemáticas, muchas veces se considera no solo un objeto sino una familia de objetos, o un espacio de objetos.
En teoría de conjuntos, a menudo se trabaja con colecciones de números que forman un conjunto. En análisis funcional, se pueden considerar espacios de funciones. En teoría de grupos, a menudo se busca entender la colección discreta de simetrías de un objeto.
Me pregunto si eso se hace en absoluto en cuanto a la continuación analítica. Es decir, ¿se llega a considerar alguna vez una familia de funciones reales y se continúa cada una de ellas en el plano complejo?
¿Hay algo que se pueda aprender al hacer esto en lugar de continuar analíticamente solo una función candidata?
Para ser más específico, si tienes $f(x)=1/x$ de una variable real, podrías continuar esto analíticamente a una función de una variable compleja $f(z)=1/z$. Pero ¿qué pasa si tienes una colección infinita, como $f_k(x)=k/x$ para $k\in \Bbb R.$ Esto se puede hacer dividiendo el plano real en una unión disjunta. Entonces, todas las continuaciones analíticas diferirían por un múltiplo constante.
Estoy muy escéptico de que haya algún punto en continuar cada curva en el espacio porque creo que una sola curva captará la esencia, la información necesaria. Pero me gustaría escuchar a personas más conocedoras.
En la práctica, ¿se continua analíticamente solo una función de la familia, o se continúa analíticamente el espacio de todas las curvas en la familia?
