Utilizando $\int_{0}^{1} x^n dx =\frac{1}{n+1}$ encuentra la suma de la serie

Question

$$1-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{(-1)^{n+1}}{3n-2}+\cdots$$

Lo siento por ser tonto. Pensé que esto $\frac{1}{3n-2}=\frac{1}{n+1}$ así que si $n=3/2$.

Entonces $$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1} \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}n} dx=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{3n-2}$$

Pero, no sé si me están preguntando esto y no sé cómo solucionarlo.

Answer 1

Transformar $$\frac{1}{3n-2} = \int_0^1 x^{3n-3} \mathrm d x$$ y $$(-1)^{n+1}=(-1)^{3n-3}$$ Así $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3n-2} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \int_0^1 x^{3n-3} \mathrm d x = \int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} x^{3n-3} \mathrm d x =$$ $$=\int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^{3n-3} \mathrm d x = \int_0^1 \frac{1}{1+x^3}\mathrm d x$$ nota que podemos intercambiar la suma y la integral porque la serie geométrica es uniformemente convergente en conjuntos compactos dentro de $(-1; 1)$.

Ahora, tienes que calcular esta integral, que no es tan fácil. WA dice que evalúa $$\frac{\pi}{3 \sqrt 3} + \frac{\log 2}{3} \approx 0.835$$