Una prueba de que existe un ángulo $\theta$ tal que cos($\theta$) = $\theta$

Question

¿Estaría alguien dispuesto a proporcionar y explicar una demostración geométrica de que hay un ángulo $\theta$ tal que cos($\theta$) = $\theta$?

Me topé con ello en un libro de texto, pero tengo dificultades para entenderlo.

Answer 1

Considera la función $f(\theta) = \cos \theta - \theta$.

Entonces $f$ es claramente continua, y $f(0) = 1 > 0$ mientras que $f(5) < 0$. Por el teorema del valor intermedio, hay un punto en el medio donde $f(\theta) = 0$. En ese punto necesariamente tenemos $\cos \theta = \theta$.

Answer 2

Dejar $$f(x) = cosx - x$$ Entonces $$f'(x) = -(sinx + 1)$$

$\sin(x)$ nunca alcanza un valor menor que -1, por lo que $f'(x)$ siempre es negativo o cero, por lo tanto la función es estrictamente decreciente.

$$f(0) = cos(0)-0 =1$$

$$f(\pi)= cos(\pi) - \pi = -(1+\pi)$$

Por lo tanto UNA raíz debe existir entre $(0,\pi)$. Y no existen otras raíces ya que f(x) siempre será negativo al ser ESTRICTAMENTE decreciente.

y $f(x)$ es continua en los REALES