Comprendiendo los intervalos de confianza y percentiles

Question

Un experimentador publicando en los Anales de Botánica investigó si los diámetros de tallos del girasol dicotiledóneo cambiarían dependiendo de si la planta se dejaba mecer libremente en el viento o era artificialmente apoyada. Supongamos que los diámetros del tallo no apoyado en la base de una especie particular de girasol tienen una distribución normal con un diámetro promedio de $35$ milímetros (mm) y una desviación estándar de $3$ mm

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una planta de girasol tenga un diámetro basal de más de $40$ mm?

b. Si se seleccionan aleatoriamente dos plantas de girasol, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tengan un diámetro basal de más de $40$ mm?

c. ¿En qué límites esperarías que se encuentren los diámetros basales, con una probabilidad de $.95$ ?

d. ¿Qué diámetro representa el percentil $90$ de la distribución de diámetros?

$\mathbf{\text{MI INTENTO:}}$

a-) $P(X >40)=P(Z>1.66)=0.0475$

b-) para esta parte, intenté usar la fórmula para seleccionar más de un elemento de manera que $$P\bigg(Z > \frac{40-35}{3 / \sqrt{2}}\bigg)=P\bigg(Z > \frac{5}{2.12132}\bigg) =P\bigg(Z >2.357\bigg)=0.00921$$

Sin embargo, la respuesta es $0.00226$ y tiene una solución así: $$P(Z>1.66) \times P(Z>1.66)=(0.0475)^2 $$

¿Por qué mi fórmula no funcionó? Siempre la uso para encontrar probabilidades de distribuciones normales cuando elegimos más de un objeto.

c-) No pude hacer esto con una fórmula matemática, la única forma en que pude hacerlo fue buscar valores que satisfacen esta condición en la tabla z, así que estoy buscando una respuesta adecuada para ello. Por cierto, la respuesta dada es $29.12$ a $40.88$

d-) Nunca he resuelto un problema de percentil, la respuesta dice que $P(Z \geq -z) =0.9$ y la respuesta es $38.84$. No pude entender por qué usaron "-z" en lugar de "+z" y por qué usamos $"\geq"$ en lugar de $>$.

Gracias de antemano..

Answer 1

Dado que claramente esto es tarea, no haré todo el trabajo por ti. En su lugar, intentaré guiarte en la dirección correcta.

Parte b): Cuando dos eventos $A$ y $B$ se asumen independientes (como elegir algo al azar), entonces $P(A \text{ y } B)=P(A)P(B)$. ¿Sabes la probabilidad de que una planta de girasol tenga un diámetro basal de más de 40 mm? Ahora la probabilidad de que ambos sean mayores de 40 mm debería ser esta probabilidad multiplicada por sí misma.

Parte c): Para una distribución Normal, los valores estarán dentro del siguiente intervalo con 95% de probabilidad: $$[\mu - z_{0.975} \cdot \sigma,\mu + z_{0.975} \cdot \sigma].$$ Busca en tu "tabla Z" el valor de $z_{0.975}$. Si quieres saber más sobre esto, intenta buscar intervalos de confianza para la distribución Normal.

Parte d): Sea $X$ el diámetro basal del girasol. Para encontrar el percentil 90% para $X$ estás preguntando cuál es el valor de $x$ que satisface que $$ 0.9 \overset{!}{=}P(X \leq x) = F(x) $$ Por lo tanto, tomando el inverso de la función de distribución acumulativa $F$ en ambos lados obtienes que $$ x = F^{-1}(0.9) $$ Este valor puede ser calculado por la mayoría de calculadoras avanzadas/software estadístico o de manera similar puedes buscar el valor correspondiente para la distribución normal estándar (lo que llamas $Z$)

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Dado que la densidad de una distribución Normal es simétrica, tenemos que $P(Z \leq z) = P(Z \geq -z)$. Dado que la distribución Normal es (absolutamente) continua, tenemos que $P(Z=z)=0$ y por lo tanto $P(Z > -z) = P(Z \geq -z)$.

Answer 2

A) correct...incluso si el resultado exacto es $\approx 0.0478$

b) incorrecto: el resultado es $(0.0475)^2\approx 0.0023$. Esto se debe a que se solicita calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes

Tu fórmula no es correcta porque está relacionada con la probabilidad de la media de la muestra de dos objetos

c) la distribución del diámetro es $D\sim N(35;3^2)$. Por lo tanto, esperamos encontrar el 95% de la distribución en el rango

$$\mu\pm \sigma z_{0.975}$$

es decir

$$35\pm 3\cdot1.96$$

o, equivalentemente

$$[29.12;40.88]$$

d) utilizando la CDF gaussiana (y tablas para calcular el percentil solicitado), obtienes

$$P(D\le d)=0.90$$

es decir

$$\frac{d-35}{3}=1.28$$

$$d=38.84$$

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$\ge$ o $>$ es lo mismo dado que la distribución es continua y por lo tanto

$$P(D=d)=0$$

$\forall d$

Answer 3

El teorema del límite central asume iid significado distribución idéntica e independiente. Cuando se suman los histogramas/pdf, simplemente se desplaza con las medias que se suman (las frecuencias alrededor de la media son las mismas y también se desplazan) pero no realmente porque cuando se suman variables independientes distribuidas normalmente se obtiene una distribución normal alrededor de una nueva media de mu1+mu2 con una varianza de stddev1^2+stdev2^2