¿Es el conjunto de funciones periódicas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ un subespacio de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$?
Mi respuesta es No. Doy el siguiente contraejemplo:
Consideramos funciones periódicas $f(x),g(x)$ de tal manera que $f(x)=x$ para $x \in [0,\sqrt{2})$ y $f(x)=f(x+\sqrt{2})$, y la función $g(x)=x$ para $x \in [0,\sqrt{3})$ y $g(x)=g(x+\sqrt{3})$ entonces $f+g$ no es periódica.
De hecho, supongamos que la función $f(x)+g(x)$ es periódica con longitud $T$. Observa que si $T/\sqrt{2}$ no es un entero entonces $f(x)
Mis preguntas son
- ¿Es correcto este contraejemplo?
- ¿Existen otros ejemplos?