Ejemplo que muestra el conjunto de funciones periódicas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.

Question

¿Es el conjunto de funciones periódicas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ un subespacio de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$?

Mi respuesta es No. Doy el siguiente contraejemplo:

Consideramos funciones periódicas $f(x),g(x)$ de tal manera que $f(x)=x$ para $x \in [0,\sqrt{2})$ y $f(x)=f(x+\sqrt{2})$, y la función $g(x)=x$ para $x \in [0,\sqrt{3})$ y $g(x)=g(x+\sqrt{3})$ entonces $f+g$ no es periódica.

De hecho, supongamos que la función $f(x)+g(x)$ es periódica con longitud $T$. Observa que si $T/\sqrt{2}$ no es un entero entonces $f(x)

Mis preguntas son

1. ¿Es correcto este contraejemplo?
2. ¿Existen otros ejemplos?

Answer 1

Su argumento de que $f+g$ no es periódico no es del todo correcto. Por ejemplo, si $T=1$, entonces $T/\sqrt{2}$ no es un entero, pero $f(1)=1>f(1+T)=2-\sqrt{2}$. Sin embargo, puedes corregir tu argumento mirando específicamente a $x=0$: entonces $f(x)+g(x)=0+0=0$, pero al menos uno de $f(x+T)$ y $g(x+T)$ debe ser positivo ya que $T$ no puede ser un múltiplo entero tanto de $\sqrt{2}$ como de $\sqrt{3}$. Por lo tanto, para $x=0$, debe tener $f(x)+g(x)

Más generalmente, un argumento similar muestra que si $f$ y $g$ son periódicos con períodos $a$ y $b$ respectivamente donde $a/b$ es irracional, y $f$ y $g$ alcanzan sus valores mínimos solo en múltiplos enteros de $a$ y $b$ respectivamente, entonces $f+g$ no es periódico.

Answer 2

Editar: Lo siguiente no es cierto.

Sí a ambas: cualquier par de funciones periódicas con periodos inconmensurables tendrá una suma que no es periódica.