La función teta de Jacobi $\theta_4$ está definida por $$\displaystyle \theta_4(q)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n q^{n^2} \tag{1}$$ Para esta pregunta, defina $q=\large e^{-\pi x}$ y $\theta_4 \equiv \theta_4(q)$. Defina $\theta_3(q)=\theta_4(-q)$.
Usando la representación de la serie de Lambert para potencias de $\theta_4$ (que describiré en un momento) e integrando término por término, he obtenido una familia de identidades limpias: $$ \int_0^{\infty} \frac{\theta_4^2}{1+x^2} dx=1 \tag{2}$$ $$ \int_0^{\infty} \frac{\theta_4^4}{1+x^2} dx=\frac{4 \ln2}{\pi} \tag{3}$$ $$ \int_0^{\infty} \frac{\theta_4^6}{1+x^2} dx=\frac{16 G}{\pi^2}-\frac23 \tag{4}$$ $$ \int_0^{\infty} \frac{\theta_4^8}{1+x^2} dx=\frac{20 \zeta(3)}{\pi^3} \tag{5}$$ Aquí, $G$ es la constante de Catalan. Estas identidades coinciden hasta muchos dígitos, según Mathematica.
Como mencioné, para derivar estas identidades usé representaciones de series de Lambert para potencias de $\theta_4$ que encontré en línea. Por ejemplo:
$$\theta_4^2 = 1+4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n q^n}{1+q^{2n}} \tag{6}$$ (Ver por ejemplo [1], o use $r_2(n)=4\sum_{d \mid n} \sin(\frac{\pi}{2} d)$ ([2]), y cambie el orden de la suma)
$$\theta_4^6=1+16\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n^2 q^n}{1+q^{2n}}+4\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n+1)^2 q^{2n+1}}{1+q^{2n+1}} \tag{7}$$ (Se da una prueba en [3], junto con pruebas de fórmulas similares para la potencia $4$ de $\theta_4$, y la potencia $8$.)
Estoy interesado en una forma cerrada para la integral $$I(n)= \int_0^{\infty} \frac{\theta_4(e^{-\pi x})^n}{1+x^2} dx.\tag{8}$$
1era Pregunta
He buscado en la web una combinación de series de Lambert similar para $\theta_4^{10}$, pero todos mis esfuerzos han sido infructuosos. Además, no pude derivar una usando el enfoque tomado en [3]. ¿Podemos encontrar una fórmula, posiblemente en forma de $(6)$ o $(7)$, para $\theta_4^{10}(q)$? Tal fórmula puede usarse para encontrar la forma cerrada de $I(10)$.
2da Pregunta
¿Podemos encontrar formas cerradas para $I(n)$ para otros valores de $n$?
En general, ¿podemos encontrar una representación de serie de Lambert de $\theta_4^n$ para cada $n$ par? Si no, ¿para qué $n$ podemos encontrar una y para cuáles no?
Referencias
[1]: Probando $\left(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} \right)^2 = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{\cos(n \pi \tau)}$ ,(Note que $\theta_4(q)=\theta_3(-q)$)
[2]: Eric W. Weisstein, Suma de la función de cuadrados, Mathworld. (25), (La línea de abajo hace referencia a las pruebas). Enlace
[3]: George E. Andrews, Richard Lewis y Zhi-Guo Liu, Una identidad que relaciona una función teta con una suma de series de Lambert, (7)-(9).
Esta pregunta ha sido editada. Para obtener más información sobre cómo obtuve estos resultados, consulte la versión original de esta publicación.
$\displaystyle \large \mathbf{Informe\,de\,Progreso}$
Gracias a Paramanand Singh (ver su respuesta a continuación), he podido avanzar un poco. Nuevamente, configuramos $q=e^{-\pi x}$ y $$\theta_2 \equiv \theta_2(q)= \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{(n+\frac12)^2}\\\theta_3\equiv \theta_3(q)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2}\\\theta_4\equiv \theta_4(q)=\sum_{n \in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{n^2}$$ También tenemos las relaciones $$ \theta_2^4+\theta_4^4=\theta_3^4 \\ \theta_2(e^{-\pi/x})=\frac1{\sqrt{x}}\theta_4(e^{-\pi x}) \\ \theta_3(e^{-\pi/x})=\frac1{\sqrt{x}}\theta_3(e^{-\pi x})\tag{9} $$ Omitiré todos los pasos intermedios y simplemente declararé lo que he encontrado hasta ahora, y también algunas otras identidades relacionadas que no he demostrado, pero coinciden numéricamente. Entonces, usando las fórmulas de Singh (cambiando $q$ a $-q$ y reescribiendo en términos de funciones hiperbólicas), obtengo que $$\int_0^{\infty} \frac{\theta_4^{10}}{1+x^2}dx=\frac{768 \beta(4)}{5 \pi^4}-\frac{32}{75}-2\int_0^{\infty} \frac{\theta_2^4\theta_4^6}{1+x^2}dx\tag{10}$$ $$\int_0^{\infty} \frac{\theta_4^{12}}{1+x^2}dx=\frac{450 \zeta(5)}{\pi^5}-\int_0^{\infty} \frac{\theta_2^4\theta_3^4\theta_4^4}{1+x^2}dx\tag{11}$$ Obsérvese que $(10)$ y $(11)$ son un poco diferentes de las expresiones que escribí en los comentarios sobre la respuesta de Singh. La evidencia numérica sugiere que: $$\int_0^{\infty} \frac{\theta_2^4\theta_3^4\theta_4^4}{1+x^2}dx=\frac23\int_0^{\infty} \theta_2^4\theta_3^4\theta_4^4 dx\tag{12}$$ $$\int_0^{\infty} \frac{\theta_2^4\theta_3^4\theta_4^2}{1+x^2}dx=\frac83\int_0^{\infty} \theta_2^2\theta_3^4\theta_4^4 dx\tag{13}$$ $$\int_0^{\infty} \theta_2^4\theta_4^2dx=\int_0^{\infty} \theta_2^2\theta_4^2dx=1\tag{14}$$ $$\int_0^{\infty} \frac{\theta_2^4\theta_4^4}{1+x^2}dx=\frac{8\zeta(3)}{\pi^3}\tag{15}$$ $$\int_0^{\infty} \frac{\theta_2^4\theta_4^2}{1+x^2}dx=\frac23\tag{16}$$ Todo esto solo me da más confianza en que existe una forma cerrada definitiva para tanto $(10)$, $(11)$ y combinaciones de potencias más altas de funciones teta. Como nota adicional, estas identidades de integrales pueden traducirse en identidades sobre sumas de retículas, expandiendo las funciones teta en su definición de serie.
