¿Por qué los físicos utilizan la notación Bra y Ket cuando los matemáticos tienden a no hacerlo?

Question

Por favor, perdóname por esta pregunta sensilla. Me doy cuenta de que no añadirá una física profunda a stack exchange, y solo pregunto por pura curiosidad de lego.

Ví una pregunta en google de un físico preguntando (en Quora creo) por qué los matemáticos no usan la notación ? Pensé que una pregunta igualmente interesante sería, ¿por qué a los físicos les gusta usar la notación ? Esto no es una crítica de la notación de física, estoy seguro de que ambas notaciones son buenas para el propósito que se utilizan: los matemáticos quieren probar teoremas, los físicos quieren realizar cálculos. Sólo tengo curiosidad genuina sobre qué proporcionan los bras y los kets. Pensé que un ejemplo podría ayudarme a identificar la razón por la que se prefieren bras y kets. A continuación, intento presentar cuál es la manera del matemático y del físico de expresar el mismo problema. Al final intento preguntar qué están entregando los vectores bra y ket (lo que la vista matemática podría estar descartando).

Mi caso de ejemplo simple es del pozo de potencial infinito "partícula en una caja" en 1D. La ecuación de Schrödinger dentro de la caja $0 donde el potencial V es cero se da por

$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}}\Psi=E\Psi$$

Dado que el potencial es infinito, decimos que la función de onda $\Psi$ es cero en los límites de la caja: $x=0$ y $x=L$

Las soluciones son entonces

$$\Psi=A\sin\left(k_{n}\frac{x}{L}\right)$$

con

$$k_{n}=n\pi$$

Un matemático diría que los $\Psi_{n}$ son los vectores propios que pertenecen al $L^{2}$ de funciones complejas periódicas de Hilbert. Dirían que hay un producto interno entre dos vectores $\Psi_n$ y $\Psi_m$, que escriben como$(\Psi_n,\Psi_m) $, y que definen como:

$$(\Psi_n,\Psi_m) = \int_{0}^{L} \Psi_{n}^{*}\Psi_{m}dx$$

Un físico dirá (creo), que los $\Psi_{n}$ no son vectores propios en absoluto, sino que son funciones de onda. Creo que los físicos dirán que los vectores propios son las cantidades a las que llaman $|\Psi_n\rangle$. Creo que los físicos dirán que los $|\Psi_n \rangle $ pertenecen al espacio de Hilbert y que los $\Psi_{n}$ no lo hacen. ¿Lo he entendido bien?

Creo que un físico dirá que llevan a cabo un "producto interno" entre un $\langle \Psi_n|$ y un $|\Psi_n\rangle $ de la siguiente manera:

$$\langle \Psi_n,\Psi_n\rangle $$

Creo que dicen que

$$\langle \Psi_n,\Psi_n\rangle = \int_{0}^{L} \Psi_{n}^{*}\Psi_{m}dx$$

¿Lo he entendido bien?

Mi pregunta principal es, ¿qué da el $|\Psi\rangle$ a los físicos que falta en la notación de los matemáticos? Algo que podría ayudarme a entender sería ver cuál es la notación ket está añadiendo aquí sería ver cuál es la expresión concreta para $|\Psi\rangle$ en el ejemplo dado. Lo que quiero decir es, ¿hay una expresión concreta para $|\Psi\rangle$ de la forma que se muestra a continuación? ¿O es $|\Psi\rangle$ simplemente algo abstracto a lo que nunca se le asigna una forma concreta?

$|\Psi\rangle = $ ¿qué ecuación concreta?

Answer 1

La notación Bra-Ket es realmente un truco notacional de físicos, atribuido a Dirac (?), de lo contrario no creo que haya ninguna diferencia real entre las áreas de estudio.

Un espacio de Hilbert es simplemente un espacio vectorial con producto interno; en Mecánica Cuántica, esos vectores tienden a ser funciones o vectores de espín. Es decir, $|\Psi\rangle$ puede ser cualquier vector relevante y depende del problema. Por ejemplo, $|\Psi\rangle = A\exp(k.x - w.t)$ o $|\Psi\rangle = \big(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\big)$

Nótese que los matemáticos a menudo utilizan <.|.> para productos internos, así como (.,.).

Hace 30 años mi profesor de física me explicó que la notación bra-ket surgió al descomponer el producto interno en sus partes constituyentes, por lo que el producto interno $\langle a|b\rangle$ de los vectores $|a\rangle$ y $|b\rangle$ se ve como la aplicación del dual de $\langle a|$ al vector $|b\rangle$. (A los matemáticos les encanta ese tipo de cosas). Además, al usar la notación bra-ket, el tensor $|a\rangle\langle b|$ se ve como $a \otimes b$.

¿Qué proporciona la notación Bra-Ket? La notación <$\Psi$|Q|$\Phi$> evoca claramente el proceso físico

$$EstadoInicial = \Phi \rightarrow proceso \rightarrow \Psi = EstadoFinal.$$

Bra-Ket también se utiliza ampliamente y es tan bueno como cualquier otro. Probablemente es todo lo que se puede pedir de una notación.

Answer 2

A nivel cultural, tengo la impresión de que la notación es mucho más "cargada" en física: por ejemplo, hay muchas letras con significados específicos, codificados y inmutables. Esto sucede menos en matemáticas. Utilizando la notación bra/ket, es inmediatamente claro con qué tipo de objeto estás tratando (un estado, o una función en estados, o un valor esperado), y nadie tiene que perder tiempo definiendo cosas y escribiendo frases como "Considera el estado $v_{\Psi}$ correspondiente a la función de onda en el espacio de posición $\Psi$" o "sea $(,)$ un producto interno (específico) en el espacio de Hilbert de estados".