Por favor, perdóname por esta pregunta sensilla. Me doy cuenta de que no añadirá una física profunda a stack exchange, y solo pregunto por pura curiosidad de lego.
Ví una pregunta en google de un físico preguntando (en Quora creo) por qué los matemáticos no usan la notación ? Pensé que una pregunta igualmente interesante sería, ¿por qué a los físicos les gusta usar la notación ? Esto no es una crítica de la notación de física, estoy seguro de que ambas notaciones son buenas para el propósito que se utilizan: los matemáticos quieren probar teoremas, los físicos quieren realizar cálculos. Sólo tengo curiosidad genuina sobre qué proporcionan los bras y los kets. Pensé que un ejemplo podría ayudarme a identificar la razón por la que se prefieren bras y kets. A continuación, intento presentar cuál es la manera del matemático y del físico de expresar el mismo problema. Al final intento preguntar qué están entregando los vectores bra y ket (lo que la vista matemática podría estar descartando).
Mi caso de ejemplo simple es del pozo de potencial infinito "partícula en una caja" en 1D. La ecuación de Schrödinger dentro de la caja $0 donde el potencial V es cero se da por
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}}\Psi=E\Psi$$
Dado que el potencial es infinito, decimos que la función de onda $\Psi$ es cero en los límites de la caja: $x=0$ y $x=L$
Las soluciones son entonces
$$\Psi=A\sin\left(k_{n}\frac{x}{L}\right)$$
con
$$k_{n}=n\pi$$
Un matemático diría que los $\Psi_{n}$ son los vectores propios que pertenecen al $L^{2}$ de funciones complejas periódicas de Hilbert. Dirían que hay un producto interno entre dos vectores $\Psi_n$ y $\Psi_m$, que escriben como$(\Psi_n,\Psi_m) $, y que definen como:
$$(\Psi_n,\Psi_m) = \int_{0}^{L} \Psi_{n}^{*}\Psi_{m}dx$$
Un físico dirá (creo), que los $\Psi_{n}$ no son vectores propios en absoluto, sino que son funciones de onda. Creo que los físicos dirán que los vectores propios son las cantidades a las que llaman $|\Psi_n\rangle$. Creo que los físicos dirán que los $|\Psi_n \rangle $ pertenecen al espacio de Hilbert y que los $\Psi_{n}$ no lo hacen. ¿Lo he entendido bien?
Creo que un físico dirá que llevan a cabo un "producto interno" entre un $\langle \Psi_n|$ y un $|\Psi_n\rangle $ de la siguiente manera:
$$\langle \Psi_n,\Psi_n\rangle $$
Creo que dicen que
$$\langle \Psi_n,\Psi_n\rangle = \int_{0}^{L} \Psi_{n}^{*}\Psi_{m}dx$$
¿Lo he entendido bien?
Mi pregunta principal es, ¿qué da el $|\Psi\rangle$ a los físicos que falta en la notación de los matemáticos? Algo que podría ayudarme a entender sería ver cuál es la notación ket está añadiendo aquí sería ver cuál es la expresión concreta para $|\Psi\rangle$ en el ejemplo dado. Lo que quiero decir es, ¿hay una expresión concreta para $|\Psi\rangle$ de la forma que se muestra a continuación? ¿O es $|\Psi\rangle$ simplemente algo abstracto a lo que nunca se le asigna una forma concreta?
$|\Psi\rangle = $ ¿qué ecuación concreta?