¿Por qué los físicos utilizan la notación Bra y Ket cuando los matemáticos tienden a no hacerlo?

Question

Por favor, perdóname por esta pregunta sensilla. Me doy cuenta de que no añadirá una física profunda a stack exchange, y solo pregunto por pura curiosidad de lego.

Ví una pregunta en google de un físico preguntando (en Quora creo) por qué los matemáticos no usan la notación ? Pensé que una pregunta igualmente interesante sería, ¿por qué a los físicos les gusta usar la notación ? Esto no es una crítica de la notación de física, estoy seguro de que ambas notaciones son buenas para el propósito que se utilizan: los matemáticos quieren probar teoremas, los físicos quieren realizar cálculos. Sólo tengo curiosidad genuina sobre qué proporcionan los bras y los kets. Pensé que un ejemplo podría ayudarme a identificar la razón por la que se prefieren bras y kets. A continuación, intento presentar cuál es la manera del matemático y del físico de expresar el mismo problema. Al final intento preguntar qué están entregando los vectores bra y ket (lo que la vista matemática podría estar descartando).

Mi caso de ejemplo simple es del pozo de potencial infinito "partícula en una caja" en 1D. La ecuación de Schrödinger dentro de la caja $0 donde el potencial V es cero se da por

$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d^{2}} }{\mathrm{d} x^{2}}\Psi=E\Psi$$

Dado que el potencial es infinito, decimos que la función de onda $\Psi$ es cero en los límites de la caja: $x=0$ y $x=L$

Las soluciones son entonces

$$\Psi=A\sin\left(k_{n}\frac{x}{L}\right)$$

con

$$k_{n}=n\pi$$

Un matemático diría que los $\Psi_{n}$ son los vectores propios que pertenecen al $L^{2}$ de funciones complejas periódicas de Hilbert. Dirían que hay un producto interno entre dos vectores $\Psi_n$ y $\Psi_m$, que escriben como$(\Psi_n,\Psi_m) $, y que definen como:

$$(\Psi_n,\Psi_m) = \int_{0}^{L} \Psi_{n}^{*}\Psi_{m}dx$$

Un físico dirá (creo), que los $\Psi_{n}$ no son vectores propios en absoluto, sino que son funciones de onda. Creo que los físicos dirán que los vectores propios son las cantidades a las que llaman $|\Psi_n\rangle$. Creo que los físicos dirán que los $|\Psi_n \rangle $ pertenecen al espacio de Hilbert y que los $\Psi_{n}$ no lo hacen. ¿Lo he entendido bien?

Creo que un físico dirá que llevan a cabo un "producto interno" entre un $\langle \Psi_n|$ y un $|\Psi_n\rangle $ de la siguiente manera:

$$\langle \Psi_n,\Psi_n\rangle $$

Creo que dicen que

$$\langle \Psi_n,\Psi_n\rangle = \int_{0}^{L} \Psi_{n}^{*}\Psi_{m}dx$$

¿Lo he entendido bien?

Mi pregunta principal es, ¿qué da el $|\Psi\rangle$ a los físicos que falta en la notación de los matemáticos? Algo que podría ayudarme a entender sería ver cuál es la notación ket está añadiendo aquí sería ver cuál es la expresión concreta para $|\Psi\rangle$ en el ejemplo dado. Lo que quiero decir es, ¿hay una expresión concreta para $|\Psi\rangle$ de la forma que se muestra a continuación? ¿O es $|\Psi\rangle$ simplemente algo abstracto a lo que nunca se le asigna una forma concreta?

$|\Psi\rangle = $ ¿qué ecuación concreta?

Answer 1

Siempre he pensado que era en parte el síndrome de NIH (not invented here) --- pero esto es quizás injusto. Los matemáticos eran muy cautelosos con $\delta(x)$ cuando Dirac lo inventó, y con buena razón. El $\delta(x)$ de Dirac facilita muchos cálculos, pero deja muchas cosas debajo de la alfombra y requiere un esfuerzo para hacerlo riguroso. Lo mismo ocurre con $|\psi\rangle$ versus $\psi(x)\in L^2[{\mathbb R}]$. La notación de Dirac oculta astutamente todas las cuestiones de convergencia, dominios de definición, hermitiano versus autoadjunto, etc., de modo que se puede ver la estructura general de un cálculo. Las cosas que la notación de Dirac oculta son frecuentemente el interés central de un matemático.

Answer 2

$| \Psi \rangle$ es realmente solo el vector correspondiente a la función de onda $\Psi$, realmente no hay más que eso. Piensa en el $| \cdot \rangle$ como un simple adorno notacional, indicando que es un vector de estado. Lo que pongas dentro del $| \cdot \rangle$ es solo una etiqueta. Aquí, esa etiqueta es la función de onda $\Psi$, ya que la función es en sí misma el vector. Es exactamente de la misma manera en que uno podría escribir un vector como $v_i$. Aquí, el subíndice $i$ es solo una etiqueta que dice de qué vector estás hablando.

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Creo que a los físicos les gusta hacer esto porque te brinda una forma natural de discutir los estados $| \Psi \rangle$ y los estados duales $\langle \Psi |$ en el mismo plano. Ciertamente tiene sentido para mí. Por ejemplo, digamos que tienes el operador Hamiltoniano $H$, que tiene un conjunto de autoestados $| i \rangle$ con autovalor $E_i$. $$ H | i\rangle = E_i | i\rangle $$ Uno puede escribir este operador fácilmente como $$ H = \sum_i E_i | i \rangle \langle i | $$ asumiendo que estamos usando una base ortonormal $$ \langle i| j \rangle = \delta_{ij}. $$ tales expresiones a menudo permiten la rápida derivación de muchas identidades. En la notación matemática que usas, no hay una forma fácil de escribir $H$ de esta manera.

Las relaciones de completitud también son muy fáciles de expresar con la notación bra-ket, por la misma razón. Por ejemplo, $$ 1 = \int dy |y \rangle \langle y | $$ es una expresión que se usa mucho.

En última instancia, no hay razón para privilegiar los estados sobre los estados duales, y la notación refleja este hecho.

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Observa que los estados $| y \rangle$ corresponden a los estados con la función de onda $\delta(y - x)$. Así que $$ \langle y | \Psi \rangle = \int dx \delta(y - x) \Psi(x) = \Psi(y). $$ Observa que, si insertamos la identidad, $$ | \Psi \rangle = 1 | \Psi \rangle = \int dy | y \rangle \langle y | \Psi \rangle = \int dy \Psi(y) | y \rangle $$

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Editar: Como señaló en la perspicaz respuesta de mike stone, creo que la diferencia en el uso entre matemáticos y físicos se puede explicar de la siguiente manera.

Los físicos están contentos de hacer un isomorfismo entre los estados y los estados duales (como yo mismo hice en la respuesta anterior). Sin embargo, en dimensiones infinitas, eso a menudo no es el caso. Por ejemplo, $\delta(y- x)$ no es realmente una función, pero el mapa $|\Psi\rangle\mapsto \Psi(y)$ es ciertamente un mapa lineal legítimo de $L^2 \mapsto \mathbb{C}$. Un físico denotaría este mapa como $\langle y|$, y también argumentaría que $| y \rangle$ debe considerarse en sí mismo como un estado legítimo, uno con una función de onda de $\delta(y-x)$. Ahora, obviamente, $\delta(y-x)$ no es realmente una función, pero moralmente hablando lo es. Por lo tanto, los físicos están contentos de hacer esta identificación, cambiando entre $| y \rangle$ y $\langle y|$, aunque los matemáticos podrían fruncir el ceño ante esto.

Answer 3

Me gustaría jugar al abogado del diablo aquí (siendo el Diablo "los matemáticos"). La notación bra-ket de Dirac solo es útil cuando se considera un operador Hermitiano interpuesto entre dos vectores de estado--incluso ignorando cuestiones de dominio, propiedades topológicas, etc. Simplemente resulta que ese es el caso la mayoría del tiempo en la mecánica cuántica.

Aquí hay algunos ejemplos de situaciones muy simples para las cuales la notación de Dirac solo se interpone en el camino:

1. Definiciones fundamentales. Por ejemplo, qué es el adjunto de un operador $Q$ es: $$ \left(\psi_{1},Q\psi_{2}\right)=\left(Q^{\dagger}\psi_{1},\psi_{2}\right) $$
2. Operadores actuando en ambas variables (la inversión de tiempo en la mecánica cuántica siendo un caso importante) $$ \left\langle T\psi_{1},T\psi_{2}\right\rangle =\left\langle \psi_{1},\psi_{2}\right\rangle ^{*} $$
3. Productos de operadores (incluso si son todos Hermitianos) que no conmutan: $$ \left(\psi_{1},ABCD\cdots\psi_{2}\right)=\left(\cdots DCBA\psi_{1},\psi_{2}\right) $$ Echa un vistazo al libro de Weinberg sobre QFT, que trata extensamente sobre simetrías y propiedades de estados. Libro muy riguroso. Weinberg se aparta de la notación de Dirac muy a menudo, acercándose mucho más a los matemáticos en ese aspecto. Y tiene muy buenas razones para hacerlo. Intenta expresar cualquiera de los ejemplos anteriores con la notación de Dirac. Simplemente no es posible.

Es solo porque la mayoría del tiempo en la MQ consideramos observables (Hermitianos) $Q$ que, $$ \left(\psi_{1},Q\psi_{2}\right)=\left(Q\psi_{1},\psi_{2}\right) $$ y así podemos escribir sin ambigüedad, $$ \left\langle \psi_{1}\left|Q\right|\psi_{2}\right\rangle $$ Hay otros puntos muy importantes relacionados con la pregunta del autor original que han sido abordados más que satisfactoriamente, pero pensé que este era un asunto muy importante relacionado con la pregunta que de alguna manera estaba faltando.

Answer 4

Una respuesta adicional para agregar a las respuestas perspicaces de todos: una gran razón por la que los físicos utilizan la notación bra-ket es porque la notación es completamente agnóstica sobre el espacio de Hilbert. Para un matemático, los estados $ | \uparrow >$ para un sistema de espín medio, $| n \rangle$ para un oscilador armónico simple, $| k \rangle$ para un estado propio de momento de una partícula libre, y el estado fundamental $| 0 \rangle$ de una teoría cuántica de campos son bestias extremadamente diferentes, viviendo en espacios de Hilbert vastamente diferentes (que quizás ni siquiera estén tan bien definidos, o al menos requieran un andamiaje significativo para convertirse en un espacio de Hilbert apropiado). Pero para un físico, todos son simplemente "estados". Sabemos por el contexto con qué tipo de estados estamos tratando, pero no somos muy exigentes en definir exactamente en qué espacio de Hilbert estamos trabajando, porque casi nunca importa para cálculos prácticos. Tan pronto como ves el adorno $| \cdot \rangle$ sabes que estás trabajando con un vector unitario en el espacio de Hilbert relevante, sea cual sea. Por otro lado, si escribes un vector en tu espacio de Hilbert como $\psi$, o $v$, generalmente debe ir acompañado de "$\in \mathcal{H}$" para especificar qué tipo de objeto es $\psi$ o $v$, lo que naturalmente lleva al lector a preguntarse qué es $\mathcal{H}$.

Answer 5

Para responder de manera concisa, es porque los físicos están haciendo algo conceptualmente más limpio, a costa de la precisión y rigor notacional.

En las págs. 2-3 de "Quantum Field Theory: A Tourist's Guide for Mathematicians" de Folland, comienza (recordando aquí que un espacio de Hilbert, aunque bastante abstracto, es un lugar donde puedes tener cosas como una secuencia de vectores que son mutuamente ortogonales, y hay una topología para que puedas tomar límites de secuencias, etc. Normalmente consisten en funciones en algún espacio y son bastante familiares.)

Ahora, algunos asuntos más sutiles. En el dialecto de los matemáticos, $\langle u|v\rangle$ es el producto interno de dos vectores $u$ y $v$ en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$. Además, si $u \in \mathcal{H}$, el mapeo $\phi_{u}(v)=\langle u | v \rangle$ es un funcional lineal acotado en $\mathcal{H}$; la correspondencia $u \leftrightarrow \phi_u$ da una identificación conjugada-lineal de $\mathcal{H}$ con su dual $\mathcal{H}'$, que los matemáticos generalmente dan por sentado sin emplear ninguna notación especial para ello. Los físicos, por otro lado, distinguen entre elementos de $\mathcal{H}$ y elementos de $\mathcal{H}'$, a los que respectivamente llaman vectores ket y vectores bra y los denotan con símbolos de la forma $|u \rangle$ y $\langle u|$. Si $|u \rangle$ es un vector ket (lo que los matemáticos podrían simplemente llamar $u$), el vector bra correspondiente (funcional lineal) $\langle u |$ en el vector ket (elemento de $\mathcal{H}$) $|u \rangle$ es el producto interno (es decir, "corchete" o "bra-ket") $\langle u | v \rangle$.

Se comprensivo, los símbolos y conceptos abstractos son a menudo todo lo que tienen los matemáticos (no necesariamente hay un objeto concreto del mundo real correspondiente, por ejemplo, a un esquema), así que hay que usarlos con mucho cuidado.

El bra es un funcional lineal que actúa sobre un vector para dar un número. Los vectores bra viven en un espacio dual que típicamente es isomorfo lineal y topológicamente al espacio sobre el que están actuando. Los físicos están felices de usar cualquier etiqueta conveniente, a menudo omitiendo subíndices para que $|a_n \rangle$ se convierta en $|n \rangle$.

Entonces, en lugar de escribir $\phi_n(|m\rangle)$ para denotar algo como un operador de proyección actuando sobre un estado para dar un número observable/medible, los físicos se sienten más cómodos diciendo que cuando juntas dos estados correspondientes, digamos, a niveles de energía $n$ y $m$, obtienes un número, lo cual es elegante.

También parece ser útil cuando deseas construir y manipular fluidamente operadores prácticos (funcionales lineales) que mueven estados (vectores) alrededor de un espacio de Hilbert, posiblemente aniquilándolos al enviarlos a 0 (no confundirse con el vacío, $|0 \rangle$).