Teorema de la divergencia de Gauss para la integral de volumen de un campo de gradiente

Question

Necesito asegurarme de que la derivación en el libro que estoy usando sea matemáticamente correcta. El problema trata sobre encontrar la integral de volumen del campo de gradiente. El autor utiliza directamente el teorema de la divergencia de Gauss para relacionar la integral de volumen del gradiente de un escalar con la integral de superficie del flujo a través de la superficie que rodea este volumen, es decir,

$$\int_{CV}^{ } \nabla \phi dV=\int_{\delta CV}^{ } \phi d\mathbf{S}$$

La página del libro está disponible a través de este enlace: http://imgh.us/Esx.jpg

¿Es eso cierto? ¿hay alguna derivación matemática disponible para el teorema de la divergencia de Gauss (o un teorema similar) cuando consideramos el gradiente en lugar de la divergencia?

¿Tiene algún significado físico como en el caso de la divergencia?

Answer 1

La afirmación es verdadera. Por lo general, se demuestra utilizando las siguientes propiedades de los vectores.

Dos vectores $\vec{p}, \vec{q} \in \mathbb{R}^n$ son iguales si y solo si para todo vector $\vec{r} \in \mathbb{R}^n$, $\vec{r}\cdot \vec{p} = \vec{r}\cdot \vec{q}$.

Volviendo a nuestra identidad original. Para cualquier vector constante $\vec{k}$, tenemos

$$\vec{k} \cdot \left(\int_{CV}\nabla\phi dV\right) = \int_{CV} \nabla\cdot(\phi \vec{k}) dV \stackrel{\color{blue}{\verb/div. theorem/}}{=} \int_{\partial CV} \phi \vec{k} \cdot d\vec{S} = \vec{k} \cdot \left(\int_{\partial CV} \phi d\vec{S}\right)$$

La primera igualdad se sostiene porque $\vec{k}\cdot\nabla\phi = \nabla\cdot(\phi \vec{k}) - \phi(\nabla\cdot \vec{k})$. Además, dado que $\vec{k}$ es un vector constante, $\nabla\cdot\vec{k} = 0$. Por lo tanto, $\vec{k}\cdot\nabla\phi = \nabla\cdot(\phi\vec{k})$.

Dado que esto es cierto para todo vector constante $k$, los dos vectores definidos por las integrales son iguales entre sí. es decir,

$$\int_{CV}\nabla\phi dV = \int_{\partial CV} \phi d\vec{S}$$

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\bbox[8px,border:1px groove navy]{{#1}}\ } \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \int_{\mrm{CV}}\nabla\phi\,\dd V & = \sum_{i}\hat{x}_{i}\int_{\mrm{CV}}\partiald{\phi}{x_{i}}\,\dd V = \sum_{i}\hat{x}_{i}\int_{\mrm{CV}}\nabla\cdot\pars{\phi\,\hat{x}_{i}}\,\dd V \\[5mm] & = \sum_{i}\hat{x}_{i}\int_{\mrm{\partial CV}}\phi\,\hat{x}_{i}\cdot\dd\vec{S} = \sum_{i}\hat{x}_{i}\int_{\mrm{\partial CV}}\phi\,\pars{\dd\vec{S}}_{i} \\[5mm] & = \int_{\mrm{\partial CV}}\phi\,\sum_{i}\pars{\dd\vec{S}}_{i}\hat{x}_{i} =\ \bbx{\int_{\mrm{\partial CV}}\phi\,\dd\vec{S}} \end{align}

Una aplicación interesante de esta identidad es la derivación del Principio de Arquímedes ( la magnitud de la fuerza sobre un cuerpo en un fluido es igual al peso de la masa del fluido desplazado por el cuerpo ):

$$ \left\{\begin{array}{rl} \ds{P_{\mrm{atm.}}:} & \mbox{Presión atmosférica.} \\[1mm] \ds{\rho:} & \mbox{Densidad del fluido.} \\[1mm] \ds{g:} & \mbox{Aceleración de la gravedad}\ds{\ \approx 9.8\ \mrm{m \over sec^{2}}.} \\[1mm] \ds{z:} & \mbox{Profundidad.} \\[1mm] \ds{m_{\mrm{fluid.}}:} & \ds{\rho V_{\mrm{body}} = \rho\int_{\mrm{CV}}\,\dd V} \end{array}\right. $$

\begin{align} \int_{\mrm{\partial CV}}\pars{P_{\mrm{atm.}} + \rho gz}\pars{-\dd\vec{S}} & = -\int_{\mrm{CV}}\nabla\pars{P_{\mrm{atm.}} + \rho gz}\,\dd V \\[2mm] & = -\int_{\mrm{CV}}\rho g\,\hat{z}\,\dd V = -m_{\mrm{fluid}}\, g\,\hat{z} \end{align}