Según mi entendimiento, la sección transversal diferencial $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ nos da el área diferencial de partículas incidentes que se proyecta sobre un trozo diferencial de ángulo sólido en el detector. Cuando se calcula la sección transversal total, se integra sobre todo el ángulo sólido; es decir, $\sigma = \int d\sigma = \int \frac{d\sigma}{d\Omega}d\Omega. No comprendo esto. La sección transversal total es indicativa de la probabilidad de interacción entre el haz incidente y el blanco, y supongamos que el haz incidente es un haz que abarca todos los parámetros de impacto. Si a un parámetro de impacto lo suficientemente grande las partículas incidentes no se desvían y así tienen un ángulo de dispersión cercano a cero, ¿no habría un rango ilimitado de parámetros de impacto que dispersan hacia ángulos cercanos a cero, y por lo tanto cualquier integración que pase por cero resultará en una explosión? (no solo para la dispersión de Rutherford)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cabe señalar que la sección transversal diferencial en $\theta = 0$ no está realmente definida; ¿cuál es la diferencia entre una partícula siendo dispersada por un ángulo cero y no ser dispersada en absoluto? Sin embargo, es completamente legítimo preguntar sobre el comportamiento de $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ a medida que $\theta$ se acerca a cero.
Para la dispersión de Rutherford, la sección transversal total tiende a infinito a medida que integramos $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ más cerca y más cerca de $\theta = 0$. Esto se debe a que la probabilidad de dispersión disminuye demasiado lentamente a medida que el parámetro de impacto crece, por lo que la contribución de parámetros de impacto más grandes no se puede descartar (la integral diverge a medida que $b \to \infty$). Fundamentalmente, esto se debe a que el fotón es sin masa, por lo que la fuerza de la interacción electromagnética disminuye como $1/r^2$ (conocida como una interacción a largo alcance).
Para las interacciones mediadas por partículas masivas, la fuerza de interacción disminuye como $\frac{e^{-mr}}{r^2}$ (conocida como una interacción a corto alcance). Existe una probabilidad de dispersión no nula para cada parámetro de impacto, pero esta probabilidad decae exponencialmente, por lo que la integral converge a medida que $b \to \infty$.
Para la dispersión clásica de esfera dura, la situación es aún más simple: la probabilidad de dispersión realmente alcanza cero para parámetros de impacto por encima de un umbral. Por lo tanto, la integral también converge a medida que $b \to \infty$.
Creo que cualquier sección transversal es simplemente un número, lo que sugiere cuántas más/menos partículas (electrones/protones, etc.) pueden ser expulsadas/absorbidas (interactuar) con la aplicación de un campo externo. Así son las terminologías como sección transversal de absorción, sección transversal de fotoionización, etc.
Estoy de acuerdo con Sergei en que la definición de la sección transversal diferencial es legítima a medida que theta tiende a cero. Sin embargo, me gustaría interpretar el caso convergente cuando theta=0.
Se me ocurren dos formas de entender esto:
-
Consideremos la famosa difracción por un pequeño agujero que da lugar al patrón de disco de Airy. Si invertimos la "opacidad" del plano de difracción, es decir, lo convertimos en un pequeño obstáculo en forma de disco situado en medio de la onda plana incidente, entonces obtenemos el famoso punto de Arago. Pero en el campo muy lejano, debería haber un punto de Arago + intensidad proveniente de la parte principal de la onda no bloqueada (que es una función delta según el teorema de Babinet). Por lo tanto, la amplitud del campo lejano en theta=0 debería ser alguna combinación compleja de una delta (densidad infinita de la onda plana original) y también un punto de Arago (relocalización de la parte supuestamente bloqueada en difracción de borde según la mecánica ondulatoria). Por lo tanto, es bastante "legítimo" argumentar que la intensidad en theta=0 tiene sentido.
-
La aproximación de Born se basa en la Regla de Oro de Fermi. Desde el punto de vista de la perturbación dependiente del tiempo, podemos interpretar más bien la amplitud en theta=0 como la corrección de primer orden del coeficiente del estado inicial. Para el caso no convergente, es obvio que se necesita un orden superior de corrección.
