Wikipedia define fuertemente continuo del grupo de acción de la siguiente manera:
Un grupo de acción de un grupo topológico G en un espacio topológico X se dice que fuertemente continua si para todo x en X, el mapa g ↦ g.x es continua con respecto a los respectivos topologías.
Mi problema con esto es que, con esta definición, cada grupo continuo de acción es fuertemente continuo:
Supongamos $G$ actúa de forma continua en el espacio $X$. A continuación, para todos los $x\in X$, el mapa de $g\mapsto g\cdot x$ puede ser descompuesto como $$G \xrightarrow{\;r_x\;} G\times X \xrightarrow{\;\alpha\;} X, $$ donde $\alpha$ es la multiplicación y la $r_x\colon g\mapsto (g,x)$. Pero $\alpha$ es continua por definición, y es claro que $r_x$ es continua (si $U\times V$ es un cilindro fijado en $G\times X$,$r_x^{-1}(U\times V)=U$, que es abierto). Por lo tanto, el mapa de $g\mapsto g \cdot x$ es continua para todos los $x\in X$. Por lo tanto, por la definición anterior, la acción de la $G$ $X$ es fuertemente continuo.
Me estoy perdiendo algo?
