Expresar el conjunto $\{3, \{3\}, \{\{3\}\}, \{\{\{3\}\}\}, \dots \}$ en notación de construcción de conjuntos.

Question

¿Es posible expresar el conjunto $\{3, \{3\}, \{\{3\}\}, \{\{\{3\}\}\}, \dots \}$ que contiene todos los conjuntos de la forma $$\underbrace{\{\dots\{}_{n} 3 \underbrace{\}\cdots\}}_{n}$$ para $n$ finito y $n\geq 0$, en notación de conjunto definido? Además, ¿es posible hacerlo de manera no recursiva?

Answer 1

Una manera bastante común sería $$\{x:\forall y((3\in y\wedge \forall z(z\in y\Rightarrow \{z\}\in y))\Rightarrow x\in y)\},$$ lo que significa "el conjunto de todas las cosas que están en cada conjunto que contiene $3$ y cerrado bajo $x\mapsto \{x\}$".

Answer 2

Sea $F:V\rightarrow V$ tal que $F(x)=\{x\}$. Luego definimos por recursión: $$ \begin{array}{rcl} F_0(x) &= &x \\ F_{n+1}(x) & = & \{F_n(x)\} \end{array} $$

entonces, el conjunto es $\{F_n(3):n\in\omega\}$