Encuentra el rango de la función $ f (x) = \frac{4-x}{x-4} $

Question

Tenemos que encontrar el rango de la función,

$y = \dfrac{4-x}{x-4}$

Mi enfoque:-

Conozco el primer método para encontrar el rango de una función al encontrar el dominio de la función inversa.

$y = \dfrac{4-x}{x-4}$

$\implies y(x-4) = 4-x$

$\implies xy - 4y = 4-x$

$\implies xy +x = 4+4y$

$\implies x(y+1) = 4(y+1)$

$\implies x = \dfrac{4(y+1)}{(y+1)}$

Ahora, aquí $y$ no puede ser igual a $-1$.

Por lo tanto, el rango de la función es $\mathbb{R} - \{-1\}$

El segundo método es:-

$y= \dfrac{4-x}{x-4}$

$y = \dfrac{-(x-4)}{(x-4)}$

$y = -1$

Por lo tanto, el rango de la función es $\{-1\}$

Verifiqué mi respuesta en wolfram alpha, $\{-1\}$ es la respuesta correcta. ¿Pero cuál es el error en el primer método? ¿En qué paso está incorrecto?

Además, intenté verificar mi solución paso a paso en desmos trazando el gráfico. Lo que encontré es que los gráficos desde el primer hasta el sexto paso son iguales pero el gráfico cambió en el paso cuando obtuve $x = \dfrac{4(1+y)}{(1+y)}$.

Necesito ayuda aquí. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

El método para encontrar el dominio de la inversa no puede funcionar cuando la función no tiene inversa, que es el caso aquí. De hecho, tu función es constante (y en particular, no es inyectiva) y solo toma el valor $-1$. Por lo tanto, el rango es $\{-1\}$.

Answer 2

Cuando se encuentra la inversa de una función algebraicamente, se intercambian las X's y las Y's de la función para representar el intercambio del eje x y el eje y en un gráfico. Por lo tanto, la inversa de Y = (4-X)/(X-4) es X = (4-Y)/(Y-4). Sacando un -1 del numerador, obtienes X = (-1)(Y-4) / (Y-4). Simplificando al sacar Y-4 tanto del numerador como del denominador, se obtiene X = -1. Lo que significa que el rango de la función inicial es -1. Te equivocaste desde el principio, ya que no intercambiaste inicialmente X y Y. Graficándolo en desmos, queda claro que la función original es simplemente una línea recta en Y = -1, con su "Inversa" (en realidad no hay una función inversa para esta función, a través de la prueba de la línea horizontal) siendo X = -1 (No es una función, a través de la prueba de la línea vertical)