Dos posibles soluciones particulares

Question

Estoy resolviendo la ecuación diferencial $$(D-1)^2y=e^x\sec^2(x)\tan (x)$$ La solución particular es la siguiente $$y=e^x\frac{1}D\int \sec^2(x)\tan(x)dx$$ Esto se puede hacer de dos maneras. $$y=e^x\frac{1}{D}(\sec^2(x)/2); \qquad y=e^x\frac1D(\tan^2(x)/2)$$ Dependiendo de si sustituyes $\sec(x)=t$ o $\tan(x)=t$. La próxima integral da respuestas finales distintas, ¿cuál de ellas es correcta o ambas son correctas?

Primera solución usando la primera integral $$y=e^x\tan(x)/2$$ Segunda solución usando la segunda integral $$y=\frac{e^x}2(\tan(x)-x)$$

Answer 1

Para la solución particular $$y_p=\frac{e^x}2(\tan(x)-x)$$ Pero como tenemos la solución homogénea $$y_h=c_1e^x+c_2xe^x$$ Por lo tanto, la solución general es $$\implies y(x)=c_1e^x+c_2xe^x+\frac 12e^x\tan(x)$$ El término $xe^x$ es absorbido por la solución homogénea

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Para la primera solución particular tenemos

$$y=e^x\frac{1}D\int \sec^2(x)\tan(x)dx$$ $$y=e^x\frac{1}D\int \frac { \sin(x)}{\cos^3(x)}dx$$ Sustituyendo $u=\cos x \implies du=-\sin x dx$ $$y=-e^x\frac{1}D\int \frac { du}{u^3}$$ $$y=\frac 12e^x\int \frac { dx}{\cos^2x}$$ $$y_p=\frac 12e^x\tan(x)$$ $$\implies y(x)=c_1e^x+c_2xe^x+\frac 12e^x\tan(x)$$ Lo cual es la misma respuesta

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Editar

Obtienes términos adicionales porque no prestamos atención a la constante de integración, pero ambos métodos dan las mismas respuestas

$$y=-e^x\frac{1}D\int \frac { du}{u^3}$$ $$y=-e^x\frac{1}D(-\frac12u^{-2}+K_1)$$ $$y=-e^x \int(-\frac12 \frac 1 {\cos^2 x}+K_1)$$ $$y=\frac 12e^x \int( \frac 1 {\cos^2 x}+K_1)$$ $$\boxed {y=\frac 12e^x( \tan x+K_1x+K_2)}$$

Si prestas atención a ambas constantes de integración, obtendrás el mismo valor para la integral... pero nota que esto solo te dará la parte homogénea de la solución que ya tenemos... Por lo tanto, no prestamos atención a la constante de integración para obtener la solución particular