Convergencia casi segura del Movimiento Browniano

Question

Si $B_t \sim N(0,t)$ entonces, intuitivamente, para cualquier $\varepsilon$ fijo, a medida que $t \to \infty$, la probabilidad de que se observe $B_t$ dentro del intervalo $[-\varepsilon, \varepsilon]$ debería converger a $0$, debido a la varianza creciente. Pero dado que $B_t$ es una v.a. continua, no estoy seguro de cómo usar el Lema de Borel-Cantelli aquí.

Primero, si $B_t \sim N(0,t)$, entonces $Z_t = \frac{B_t}{\sqrt{t}} \sim N(0,1)$. Por lo tanto, \begin{align} \lim_{t \to \infty}P(|B_t|>\varepsilon) &= \lim_{t \to \infty} P\bigg(\frac{|B_t|}{\sqrt{t}}>\frac{\varepsilon}{\sqrt{t}}\bigg) \\&= \lim_{t \to \infty}P\bigg(Z_t>\frac{\varepsilon}{\sqrt{t}}\bigg) + P\bigg(Z_t<-\frac{\varepsilon}{\sqrt{t}}\bigg) \\&= \lim_{t \to \infty}1- \Phi(\frac{\varepsilon}{\sqrt{t}}) + \Phi(-\frac{\varepsilon}{\sqrt{t}}) \\&= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1. \end{align} Esto, creo, demuestra que $B_t$ diverge en probabilidad, es decir, $$ \text{plim}_{t \to \infty}B_t = \pm\infty $$ Pero no estoy seguro de cómo extenderlo a $\lim_{t \to \infty} P(\limsup B_t=\infty)=1$. Entiendo que $\mathbf{E}[B_{t+h}B_t]=t \neq 0$, entonces $B_t$ no son independientes, por lo tanto solo el Lema de Borel-Cantelli-I funcionará aquí, así que de alguna manera necesito demostrar que existe una secuencia de eventos $I_t = \{t:|B_t|<\varepsilon\}$, y luego demostrar que la suma converge, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Necesito dividir la línea de tiempo en intervalos disjuntos?

Sé que esta pregunta se hizo antes, pero estoy interesado en si la lógica anterior es correcta y se puede extender a la prueba de convergencia casi segura.

Answer 1

Has demostrado que para cualquier $\varepsilon > 0$ y $\delta > 0$, existe un $T$ lo suficientemente grande para que para cualquier $t \geq T$, $P(|B_t| \leq \varepsilon) < \delta$. Probablemente, quieres demostrar que $$P(\limsup_{t\rightarrow\infty} B_t = \infty) = 1,$$ no $P(\dots) = \infty$, como se señaló en un comentario. Además, la afirmación $\lim_{t\rightarrow\infty} B_t = \pm\infty$ no es cierta, porque casi seguramente $B = \{B_t, t\geq0\}$ cruza el $0$ infinitas veces, y el límite no existe.

1. Si no necesitas usar Borel-Cantelli, la Ley del Logaritmo Iterado te dará $P(\limsup_t B_t = \infty) = 1$ directamente.

2. Si no quieres usar la potencia de LIL pero no necesitas utilizar directamente Borel-Cantelli, el argumento usual es el mismo que para una marcha aleatoria en los enteros usando una ley 0-1. Primero, nota que, para cualquier $0, $$\{ \limsup_n B_n \leq A\} \subset \liminf_n \{B_n \leq A\} = \cup_{m=1}^\infty \cap_{n=m}^\infty \{B_n \leq A\}.$$ El lado derecho es el liminf de los conjuntos, lo que significa que la secuencia de eventos ocurre "excepto finitas veces". De hecho, si $\omega \in\{\limsup_n B_n(\omega) \leq A\}$, entonces ciertamente hay un $m<\infty$ suficientemente grande tal que para todo $n \geq m$, $\omega \in \{B_n \leq A\}$. Ya has demostrado que $P(B_n \leq A) < \delta < 1$ para todo $n$, y dado que para cualquier secuencia de conjuntos $E_n$, $$P(\liminf_n E_n) \leq \liminf_n P(E_n),$$ también tienes $P(\limsup_n B_n \leq A) \leq \delta < 1$. Dado que $\{\limsup_n B_n \leq A\}$ es un evento de cola, la probabilidad es $0$. Dado que $0 < A< \infty$ es arbitrario, el resultado sigue.

3. Si insistes en usar Borel-Cantelli, el único argumento que se me ocurre utiliza alguna forma de propiedad fuerte de Markov, para utilizar eventos independientes, o quizás utilizar una versión más fuerte (la más fuerte) de Borel-Cantelli. Aquí hay un argumento que utiliza el principio de reflexión.