Encuentra una secuencia $a_n$ tal que $X_{(n)} - a_n$ converja en distribución, donde $X_{(n)} = \max(X_i), i=1:n$

Question

Sean $X_1,X_2,...,X_n$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro 1. Define $X_{(n)} = \max(X_i), i=1:n$. ¿Cuál es una secuencia $a_n$ tal que $X_{(n)} - a_n$ converge en distribución?

Creo que también convergería a una distribución exponencial, ¿verdad?

Muchas gracias

Answer 1

Pista: podemos calcular la función de distribución acumulativa de $X_{(n)}-a_n$, es decir, $(1-e^{-(t+a_n)})\chi_{\mathbb R_+}(t+a_n)$. ¿Puedes encontrar $a_n$ tal que esta cantidad converja puntualmente?