Intuición detrás de la constante de Khinchin

Question

Khinchin demostró que

Para casi todos los números reales $r$ con representación en fracción continua $[a_o; a_1, a_2, \dots ]$ la secuencia $K_n = \left(\prod_{i=1}^{n} a_i\right)^{1/n}$ converge a una constante $K$ (constante de Khinchin) independiente de $r$.

Esto es bastante sorprendente, y me preguntaba si hay algo más profundo sucediendo detrás de escena. ¿Hay algo más profundo? ¿Existe alguna explicación intuitiva de por qué esto debe ser verdad?

• La prueba del resultado en la actualidad parece depender de la ergodicidad del mapa Gaussiano/mapa shift sobre una medida equivalente a Lebesgue. Se menciona en los comentarios que hay un "resultado análogo" para la media aritmética de decimales en la expansión decimal que se siente mucho más intuitivo. Quizás una respuesta reformularía o destacaría una forma de ver la prueba estándar para hacerla "igual de" intuitiva. Por cierto, el resultado análogo no parece ser evidencia suficiente para el resultado de Khinchin. Por ejemplo, los números en secuencias decimales están acotados y básicamente dice que los dígitos son aleatorios mientras que el resultado de Khinchin parece mostrar que $a_n$ están en realidad bastante controlados, aunque siguen sin estar acotados en general. De hecho, la versión de la media aritmética para fracciones continuas diverge casi en todas partes.

• Otro enfoque podría ser más geométrico o topológico. Por ejemplo, las expansiones en fracción continua pueden ser vistas como secuencias de expansión de vías en la pista del tren en el toro, y los números reales como curvas con pendientes específicas. Además, hay este artículo que tiene buena pinta La Superficie Modular y las Fracciones Continuas de Caroline Series que parece prometedor y podría estar en el camino de brindar una razón geométrica/topológica e interpretaciones para $K$ ($K$ no se menciona explícitamente).

Answer 1

Aquí está lo que considero la explicación estándar. Aprendí esto de The Art of Computer Programming, Sección 4.5.3.

Comenzamos con un número $z$ cuya fracción continua queremos encontrar. Revisaré el algoritmo de fracción continua: Sea $a_1 = \lfloor z \rfloor$ y sea $r_1 = z-a_1$. Luego sea $a_2 = \lfloor r_1^{-1} \rfloor$ y sea $r_2 = r_1^{-1} - a_2$. Continúa de esta manera para definir $r_k$ y $a_k$. Los $a_k$ son los coeficientes de la fracción continua. Nuestra primera tarea será entender los $r_k$.

Si elegimos $z$ al azar, entonces $r_1$ tiene la misma probabilidad de estar en cualquier lugar en $[0,1)$. Pero lo mismo no es cierto para $r_2$. Tenemos $r_2 \in [0,x]$ si y solo si $r_1 \in \bigcup_{k=1}^{\infty} [(k+x)^{-1}, k^{-1}]$, así que la probabilidad de que $r_2$ esté en $[0,x]$ es $\sum_{k=1}^{\infty} \left( \tfrac{1}{k} - \tfrac{1}{k+x} \right)$. Más en general, sea $F_n(x)$ la probabilidad de que $r_n \in [0,x]$, entonces $$F_{n+1}(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( F_n(\tfrac{1}{k}) - F_n(\tfrac{1}{k+x} ) \vphantom{\sum} \right).$$

Si imaginamos que $\lim_{n\to \infty} F_n(x)$ existirá, entonces la función límite $F$ debe obedecer $$F(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( F(\tfrac{1}{k}) - F(\tfrac{1}{k+x} ) \vphantom{\sum} \right).$$

Una función que obedece esta propiedad es $\log (1+x)$. Verifiquemos esto: $$ \sum_{k=1}^{N} \left( \log \frac{k+1}{k} - \log \frac{k+x+1}{k+x} \right) \sum_{k=1}^{N} \left( \log (k+1) - \log k - \log (k+x+1) + \log (1+x) \right).$$ Esto telescopio a $$\log (N+1) - \log 1 - \log (N+x+1) + \log(1+x) = \log \frac{N+1}{N+x+1} + \log (1+x).$$ Enviando $N \to \infty$, obtenemos $\log (1+x)$. Este argumento fue neutral en cuanto a cuál era la base del logaritmo, pero, como queremos que $F(1)=1$, debemos tomar el logaritmo en base dos.

Por supuesto, no voy a demostrar que el límite existe o que toma este valor, ¡esto es un teorema difícil! Pero veamos por qué implica el resto. La probabilidad de que $a_k = b$ es la probabilidad de que $r_{k-1} \in (\tfrac{1}{b+1}, \tfrac{1}{b}]$, o $F_{k-1}(\tfrac{1}{b}) - F_{k-1}(\tfrac{1}{b+1})$. Si $F_k$ se acerca a $\log_2 (1+x)$, entonces la probabilidad de que $a_k$ sea $b$ se acerca a $\log_2 \tfrac{b+1}{b} - \log_2 \tfrac{b+2}{b+1} = \log_2 \tfrac{(b+1)^2}{b(b+2)}$. Nota que esto es $\approx \tfrac{1}{b^2}$.

Intuitivamente, si $g$ es una función de $\mathbb{Z}_{>0}$ a $\mathbb{R}$, esperaríamos que el valor promedio de $g(a_k)$ sea $\sum_{b=1}^{\infty} g(b) \log_2 \tfrac{(b+1)^2}{b(b+2)}$. No sería una buena idea tomar $g(x) = x$, ya que entonces la suma divergiría. Pero, si $g(x)=\log x$, entonces la suma converge al logaritmo de la constante de Khinchin, como uno esperaría.

Hay un sutil cambio en el último párrafo. Antes del último párrafo, $z$ era una variable aleatoria, y observé cómo se comportaba la distribución de probabilidad de $a_k$ a medida que $k \to \infty$. En el último párrafo, y en el teorema de Khinchin, tomé un único $z$ y pregunté acerca del comportamiento promedio de $a_k$ para ese $z$. Este es un tema difícil, pero la teoría ergódica tiene herramientas estándar para justificarlo.

Answer 2

Si desea una explicación geométrica del resultado, la existencia de la constante de Khinchin es una consecuencia de la propiedad de erosidad del flujo geodésico en la superficie modular (más precisamente, en el orbifold modular).

Ver

Robert Hines, Fracciones continuas simples y el flujo geodésico en la superficie modular

para más detalles: Una prueba directa de la ergodicidad se encuentra en la página 3 (toma alrededor de media página). En la página 4, la existencia de la constante de Khinchin se deriva como un cálculo de una línea usando una función medible adecuadamente elegida (se basa en el teorema ergódico de Birkhoff).

El supuesto de Paul Plummer sobre las vías del tren fue un error cercano: La teoría de vías de tren es una herramienta combinatoria para describir laminaciones geodésicas medidas en superficies. El orbifold modular no lleva laminaciones geodésicas en absoluto, pero si eliminamos la propiedad de no intersección en la definición de las laminaciones geodésicas, llegamos a la noción de corrientes geodésicas, es decir, medidas invariante por el flujo y por volteo en el haz tangente unitario. [Incidentalmente, hasta donde sé, no hay una herramienta combinatoria conocida, similar a las vías de tren en el caso de las laminaciones, que se pueda usar para estudiar corrientes geodésicas generales en superficies hiperbólicas. Las fracciones continuas pueden verse como una herramienta combinatoria en el caso muy especial en cuestión.]

La medida de Liouville es una de esas corrientes geodésicas. La ergodicidad del flujo geodésico con respecto a esta medida (debido a Hopf) te lleva a la respuesta (la existencia de la constante de Khinchin).

Una exposición autocontenido de las laminaciones y corrientes geodésicas se puede encontrar en estas notas de clase:

Javier Aramayona y Christopher J. Leininger, Estructuras hiperbólicas en superficies y corrientes geodésicas.

La ergodicidad del flujo geodésico con respecto a la medida de Liouville es válida en una generalidad mucho mayor, digamos, para variedades/orbífoldes estrictamente curvados negativamente de volumen finito (esto se debe a Hopf). Hay muchas otras conexiones interesantes entre la teoría ergódica en espacios localmente homogéneos ("dinámica homogénea") y la teoría de números, pero eso sería una pregunta separada, más adecuada para Mathoverflow...