Combinatoria para dividir el conjunto en dos subconjuntos de igual producto

Question

Encuentra todos los números enteros positivos n tales que el conjunto $(n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5)$ pueda ser dividido en dos subconjuntos de tal forma que el producto de los dos subconjuntos sea igual.

Answer 1

Si $p >= 5$ es un número primo, entonces $p$ no puede dividir $n+1$, $n+2$, $n+3$ o $n+4$ (si lo hiciera, dividiría EXACTAMENTE UNO de los seis números, y no podrías dividirlos en dos subconjuntos con productos iguales). Así que los cuatro números en el medio son divisibles, como máximo, por 2 y 3. Dos de ellos son impares, por lo que deben ser potencias de 3, y la diferencia entre ellos es 2. Entonces, o bien $n+1$, $n+3$ o $n+2$, $n+4$ deben ser 1 y 3. Lo cual no es posible. Entonces no hay soluciones.