Fuerza aplicada fuera del centro en un objeto

Question

Suponga que hay un cuerpo rígido en el espacio profundo con masa $m$ y momento de inercia $I$. Una fuerza que varía con el tiempo, $F(t)$, se aplica al cuerpo fuera de centro a una distancia $r$ de su centro de masa. ¿Cómo puedo calcular la aceleración instantánea, la aceleración rotacional y la trayectoria de este objeto, suponiendo que comienza desde el reposo?

Answer 1

Si la posición del centro de masa es $\vec{r}_C$ y la ubicación de la aplicación de la fuerza es $\vec{r}_A$, entonces las ecuaciones de movimiento de Euler-Newton para un cuerpo rígido son:

$$ \vec{F} = m\,\vec{a}_C \\ (\vec{r}_A-\vec{r}_C)\times \vec{F} = I_C \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times I_C \vec{\omega} $$

con velocidad del centro de gravedad $\vec{v}_C = \dot{\vec{r}_C}$, aceleración del centro de masa $\vec{a}_C = \ddot{\vec{r}_C}$, $I_C$ es el tensor de inercia sobre el centro de masa.

En 2D cuando $(x,y)$ es la ubicación del c.m. el Punto C esto se convierte en

$$ \begin{vmatrix} F_x \\ F_y \\ 0 \end{vmatrix} = m \begin{vmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ 0 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} c_x \cos\theta \\ c_y \sin\theta \\ 0 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} F_x \\ F_y \\ 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} I_x & &\\& I_y & \\ & & I_z \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ \ddot{\theta} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} $$

donde $(c_x,c_y)$ es la posición del punto A desde el c.m. cuando la orientación del cuerpo es $\theta=0$ (inicialmente).

Por componentes, las ecuaciones son $$ \ddot{x} = F_x/m \\ \ddot{y} = F_y/m \\ \ddot{\theta} = \frac{-c_y \sin\theta F_x + c_x \cos\theta F_y}{I} $$

Si la fuerza está rotando con el cuerpo, y inicialmente ubicada en $(c_x,0)$ apuntando en la dirección +y entonces

$$ \ddot{\theta} = \frac{c_x F_y}{I} $$

Answer 2

Siempre puedes reemplazar una fuerza descentrada por la misma fuerza centrada más un torque $r\times F$.

Por lo tanto, la trayectoria y la aceleración del centro de masa son las mismas que obtendrías con la misma fuerza centrada, por lo que puedes resolverlas independientemente de la dinámica rotacional. El torque mencionado anteriormente es lo que impulsa la dinámica rotacional de tu cuerpo rígido.