He leído múltiples publicaciones aquí y en otros lugares donde la mayoría de la gente parece recomendar aprender álgebra lineal antes que álgebra abstracta. ¿Es eso porque los espacios vectoriales son más fáciles de entender que los grupos y anillos? Estoy teniendo algunos desafíos para entender cómo funcionan ciertos aspectos de los espacios vectoriales, me preguntaba si aprender sobre anillos y/o grupos puede ayudarme a comprender mejor cómo funcionan los espacios vectoriales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
PoC
Puntos
106
Sí. Tu comprensión es correcta. Existe un teorema que establece que cualquier par de espacios vectoriales finito-dimensionales $k$ (espacios vectoriales definidos sobre el campo $k$) de la misma dimensión son isomorfos: $$ \dim(V_1) = \dim(V_2) = n < \infty \implies V_1 \simeq V_2 \simeq k^n.$$ Sin embargo, esto no es aplicable a grupos y anillos. De hecho, dos grupos abelianos finitamente generados pueden tener el mismo rango pero no ser isomorfos: el ejemplo obvio es en el rango 0, considerando el grupo de Klein cuatro $$ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \not\simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}. $$ (Recordemos que los grupos abelianos finitamente generados pueden expresarse en la forma $$ G = \mathbb{Z}^r \oplus G_{\text{tors}} $$ donde $r$ es el rango y la parte de torsión $G_{\text{tors}}$ es finita.)
¡Y eso es solo en el caso abeliano finitamente generado! Al relajar estas suposiciones, hay muchas más posibilidades con las que lidiar. Por lo tanto, tiene sentido comenzar estudiando el caso más simple de álgebra lineal.
dmay
Puntos
415
Sí, en general los espacios vectoriales son estructuras algebraicas bastante simples. Por lo tanto, son una excelente introducción a los aspectos más avanzados del Álgebra Abstracta.
Por ejemplo, si estás trabajando con espacios vectoriales sobre, digamos, los números reales, y si $v$ es un vector, entonces nunca tienes$$\overbrace{v+v+\cdots+v}^{n\text{ veces}}=0\tag1$$(a menos que $v=0$). En algunos otros campos (por ejemplo, campos finitos), hay un número natural $n$ tal que siempre tienes $(1)$. En un grupo (o un anillo), puedes tener $(1)$ para ciertos elementos y ciertos valores de $n$, mientras que para otros elementos no tienes $(1)$, sin importar qué $n$ elijas.
Y cada espacio vectorial tiene una base. La generalización natural de los espacios vectoriales sobre un campo son los módulos sobre un anillo. Y estos rara vez tienen una base.
Además, hay una clasificación muy simple de todos los espacios vectoriales sobre un campo: hasta isomorfismo, para cada cardinal hay uno y solo un espacio vectorial cuya dimensión es ese cardinal. No hay nada similar para grupos o anillos.
Morgan Rodgers
Puntos
3629
El álgebra lineal se puede ver con algunas herramientas algebraicas avanzadas; por ejemplo, un espacio vectorial se puede pensar como un grupo abeliano emparejado con una operación adicional de multiplicación escalar. Podemos considerar espacios vectoriales sobre campos finitos. Las matrices se pueden ver como homomorfismos entre espacios vectoriales. Además, los grupos de matrices invertibles proporcionan ejemplos importantes de grupos no abelianos.
Por otro lado, se puede dar una primera introducción al álgebra lineal sin profundizar demasiado en la maquinaria algebraica. Los estudiantes no necesitan aprender realmente teoría de grupos o teoría de campos para considerar la adición de vectores sobre los números reales o complejos. Podemos enseñar a los estudiantes sobre aplicaciones lineales entre espacios vectoriales sin adentrarnos demasiado en el concepto de homomorfismos entre estructuras algebraicas.
En resumen, el álgebra lineal antes del "álgebra abstracta" suele recomendarse porque una mirada introductoria al álgebra lineal proporciona una buena primera impresión de los conceptos que se presentarán en un curso de álgebra más avanzado. Es particularmente agradable enseñar a los estudiantes sobre grupos no abelianos cuando ya están familiarizados con la multiplicación de matrices, ya que esto permite presentar muchos ejemplos interesantes al principio del curso.
SIN EMBARGO: El álgebra lineal es un tema realmente hermoso y profundo. Hay muchos temas avanzados interesantes que se pueden cubrir una vez que esté familiarizado con algunos temas avanzados en álgebra. Por lo tanto, definitivamente vale la pena volver y tomar un segundo curso de álgebra lineal una vez que entiendas grupos, anillos, campos, módulos, homomorfismos, etc.
Nilan
Puntos
5798
Aprendí teoría de grupos y teoría de anillos antes de aprender sobre espacios vectoriales y álgebra lineal en general. A medida que veo que estos tres temas están diseñados para tres propósitos diferentes, al menos al principio. La teoría de grupos para estudiar soluciones generales de ecuaciones algebraicas (básicamente teoría de Galois), la teoría de anillos para soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas (geometría algebraica), y el álgebra lineal para soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Por lo tanto, aunque son teorías algebraicas, tienen estructuras y sabores diferentes. Por supuesto, aprender cualquiera de estos primeros sería beneficioso para entender los otros, pero no diría que uno es particularmente más simple o interesante que los otros.
Chris Custer
Puntos
67
No lo creo. Existe una cierta cantidad de superposición, y ambos temas van desde lo difícil y complicado hasta lo simple y trivial.
Por ejemplo, un espacio vectorial puede ser visto como un grupo abeliano con cierta estructura adicional. Además, cualquier grupo abeliano es un módulo $\Bbb Z$. Y, cualquier cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo primo.
Me di cuenta de que hay al menos un libro que trata ambos temas simultáneamente. Álgebra Lineal y Teoría de Grupos, por V.I. Smirnov.
