¿Por qué definimos el módulo de un número complejo como lo hacemos?

Question

Para un número complejo $z = a+bi$, decimos que su módulo es: $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Cuando dibujamos números complejos en el diagrama de Argand, intuitivamente, esto tiene sentido. Pero si usáramos una proyección diferente para el diagrama (es decir, una métrica diferente para la distancia) entonces no necesariamente tendría sentido. Por supuesto, los números complejos también se pueden escribir como:

$$z = re^{i\theta} = r(\cos\theta +i\sin\theta)$$

así que una pregunta equivalente podría ser, si esto es lo que definimos, por qué definimos eso:

$$|e^{i\theta}| = |\cos\theta + i\sin\theta| = 1$$

para todos los valores de $\theta$, en lugar de solo $\theta = n\pi$.

La respuesta puede ser simplemente que es conveniente trabajar con esta definición. ¿Pero hay alguna razón más profunda? ¿Existen problemas para los cuales sea conveniente definir las cosas de manera diferente? ¿Y cuáles serían las consecuencias si hiciéramos las cosas de manera diferente?

Answer 1

Como señala CyclotomicField, es una definición muy conveniente: independientemente de si le damos un nombre, el mapa $(a+bi)\mapsto \sqrt{a^2+b^2}$ aparece con frecuencia.

Sin embargo, de hecho podemos dar una motivación "intrínseca": hay algunas suposiciones básicas que, cuando se combinan, identifican de manera única la definición estándar de módulo.

• Primero, tenemos un axioma de "positividad": queremos $\vert x\vert\ge 0$ para todo $x$ y queremos $\vert x\vert=0$ si y solo si $x=0$.

• Luego, tenemos un axioma "algebraico": pensando en un número complejo como un vector unitario escalado por un número (su módulo), queremos que la función de módulo sea multiplicativa: $\vert x\vert\vert y\vert$ debe ser igual a $\vert xy\vert$. Además, la multiplicación escalar (real) debería interactuar con la norma de la manera obvia: $\vert \alpha x\vert=\vert\alpha\vert\vert x\vert$ (donde el primer "$\vert\cdot\vert$" se refiere a la función de valor absoluto habitual en $\mathbb{R}$); si lo prefieres, puedes pensar en esto como decir que el módulo complejo debería coincidir con el módulo real en los números reales.

• Finalmente, tenemos un axioma "topológico": queremos que el mapa $\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto\vert x\vert$ sea continuo.

¡Resulta que esto es suficiente para identificar la función de módulo estándar! Los axiomas de positividad y algebraicos solos nos dicen que $\vert 1\vert=1$ (ya que debe ser distinto de cero pero igual a su cuadrado), y a su vez que $\vert -1\vert=1$ (ya que debe ser una raíz cuadrada no negativa de $\vert 1\vert=1$), y a su vez que $\vert i\vert=1$ (ya que debe ser una raíz cuadrada no negativa de $\vert-1\vert=1$), y así sucesivamente. De hecho, esto muestra que $\vert e^{i\theta}\vert=1$ siempre que $\theta$ sea un múltiplo racional de $\pi$. Y luego, el axioma topológico termina las cosas: por continuidad, debemos tener $\vert e^{i\theta}\vert=1$ para todos los $\theta$, y pensando en la multiplicación escalar fija el valor de $\vert x\vert$ para todos los $x\in\mathbb{C}$.

Answer 2

¿Te gusta el valor absoluto en $\mathbf R$? Bueno, resulta que la fórmula $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$ es el único valor absoluto en $\mathbf C$ que extiende el valor absoluto en $\mathbf R$. Esa no es la razón por la que se definió originalmente, pero proporciona una excelente razón por la que esta función juega un papel tan prominente en el trabajo con los números complejos. No necesitas nada como la descomposición polar ($re^{i\theta}$) para probar esa unicidad. Se sigue de $\mathbf R$ siendo completo y $\mathbf C$ siendo de dimensión finita sobre $\mathbf R$.

Un "valor absoluto" en un campo $F$ es una función con valores en $\mathbf R$ $|x|$ para $x \in F$ tal que (i) $|x| \geq 0$ con igualdad si y solo si $x = 0$, (ii) $|xy| = |x||y|$ para todos $x$ e $y$ en $F$, y (iii) $|x+y| \leq |x| + |y|$ para todos $x$ e $y$ en $F$. Utilizando un valor absoluto en $F$ obtenemos una métrica en $F$ mediante $d(x,y) = |x-y|$ y eso conduce a ideas topológicas y analíticas asociadas sobre $F$ si tiene algunas propiedades agradables para esta métrica (completo, localmente compacto, y así sucesivamente).

Puedes aplicar este concepto a un cuerpo de división en lugar de un campo. En ese espíritu, el valor absoluto en cuaterniones, dado por $|a+bi+cj+dk| = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$, es el único valor absoluto en los cuaterniones que extiende el valor absoluto en $\mathbf R$.