Secuencia Aleatoria

Question

Luchando con una última pregunta.

Una secuencia aleatoria X0, X1, X2, X3..... se genera a partir de X0 según la regla

Xk+1 =

Xk con probabilidad 1/2
2Xk con probabilidad p donde 0 < p =< 1/2`
Xk/2 con probabilidad q = 1/2 - p

a. Para cualquier valor permitido de p, encuentre las probabilidades de todos los posibles valores de X2 si X0 = 4

b. Encuentre el valor de p que hace que X sea una martingala

Supongo que configuramos un valor esperado discreto con pesos de probabilidad 0.5, p y q, pero no estoy muy seguro.

Cualquier ayuda sería apreciada, es un tipo de pregunta relativamente nuevo

Answer 1

En este contexto particular $X_k$ es una martingala si y solo si $E(X_{k+1} | X_k) = X_k \iff E(X_{k+1} | X_k)(p) = X_k \iff \frac 12 X_k + 2pX_k + \frac 1 2(\frac 1 2 - p) X_k = X_k $

Luego puedes dividir por $X_k$ y resolver para $p$

$\frac 12 + 2p + \frac 1 4-\frac 1 2 p = 1 \iff \frac 3 2 p = \frac 14 \iff p = \frac 16$

$q = \frac 1 3$

Tiene sentido que $q$ sea menor que $p$ porque la expectativa es en valor. Cuando duplicas $X_0=4$ aplica una desviación de valor de $4$ $(X_1=8 = X_0+4)$ a la expectativa. Dividir por 2 solo aplica una desviación de $-2$ $(X_1=2 = X_0-2)$. Por lo tanto, necesitas dividir por 2 el doble de veces que multiplicar por dos para mantener constante la expectativa.

Answer 2

Para a, hay tres posibles transiciones en cada paso. Eso significa que hay nueve posibles transiciones de dos pasos. Calcula $X_2$ y la probabilidad de cada una y haz una lista. Algunos de los valores de $X_2$ serán iguales.

Para b, ¿has buscado la definición de una martingala? Dado $X_n$, ¿cuál es el valor esperado de $X_{n+1}$? Se supone que deben ser iguales. Necesitas encontrar el $p$ que los haga iguales.