Intuición geométrica detrás de gradiente, divergencia y curl

Question

Me enteré de análisis vectorial y cálculo multivariable hace unos dos años y ahora necesito un cepillo una vez más. Así, mientras que tratando de envolver mi cabeza alrededor de los diferentes términos y conceptos en el análisis vectorial, llegué a los conceptos de vector de diferenciación, el gradiente, la divergencia, la curvatura, el Laplaciano etc.

La referencia que estoy usando es muy inadecuados para dar cualquier geométrica y física interpretetions de estos (casi) nuevos conceptos. Yo no tengo mucho problema con sus fórmulas y reglas de trabajo, pero quiero ver a ellos en un poco más de forma geométrica. Por ejemplo, el significado geométrico del gradiente de la que salí de mi libro es la siguiente: si $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ ser una función derivable, a continuación, $\nabla f (x,y,z)$ es el vector perpendicular a la superficie de nivel $f(x,y,z)=c$ ($c$ constante) en el punto de $(x,y,z)$.

Yo realmente apreciaría si alguien puede explicar cómo, de esta manera, puede divergencia, la curvatura y el Laplaciano interpretarse geométricamente. (por ejemplo, Para un determinado campo de vectores $\textbf{F}: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$, la relación entre el $\nabla\times\textbf{F}$ $F$ y de preguntas.) Busqué en Google un poco, pero no podía encontrar lo que estaba buscando.

Gracias de antemano.

Answer 1

Imagina un volumen $V$ (con límite de $\partial V$) centrada en un punto de $p$.

La divergencia de $\nabla \cdot F$ de un campo de vectores $F$ puede ser visto como el límite

$$\nabla \cdot F = \lim_{V \to 0} \oint_{\partial V} F \cdot \hat n \, dS$$

No es demasiado difícil de interpretar geométricamente esta integral. Este es un flujo integral--nos dice cuánto $F$ es normal a la superficie de los elementos de $\hat n \, dS$. Una función positiva divergencia debe estar apuntando principalmente radialmente hacia afuera desde un punto--se bifurca a partir de ese punto.

La curvatura puede ser construido de una manera similar:

$$\nabla \times F = \lim_{V \to 0} \oint_{\partial V} \hat n \times F \, dS$$

Es probablemente más fácil esta imagen en 2d: no, $\partial V$ es un círculo y $\hat n$ apunta radialmente hacia afuera. El rizo, a continuación, mide la cantidad de $F$ es perpendicular a $\hat n$, o lo mucho que se enrosca alrededor nuestro punto central (y si lo hace curl de todo, ¿en qué dirección es el curling?).

En realidad, nada viene a la mente para el Laplaciano, pero espero que esta ayuda.

Answer 2

Aquí están las que recuerdo:

El gradiente es como usted la describe. También, el gradiente apunta en la dirección de "rápido crecimiento" a través del campo. Que los geles muy bien con la intuición de que usted dio, ya que parece intuitivo tha la normal a la curva de nivel (que es una región de valor constante) apuntaría hacia arriba o hacia abajo a través de otros valores.

Si usted se imagina un poco de la hélice en el campo de vectores, la curvatura en ese punto es la tendencia de la hélice puede activar las líneas de flujo.

La divergencia en un punto es la tendencia de que el campo de flujo hacia afuera o hacia adentro a ese punto.

El Laplaciano es el que yo estoy menos familiarizado con, y parece ser la más difícil de conseguir con una imagen. Si lo interpretamos como una combinación de la divergencia y el gradiente arriba, es algo que ver con el flujo de la gradiente. Como he leído sobre él, parece ser útil para el estudio de la disolución de sustancias.