¿Cómo funciona esta simplificación de esta derivada?

Question

Entonces hay una simplificación que no entiendo y va así:

\begin{alignat}{2} &\text{Ecuación original:}\qquad 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2}&=0\\ &\text{Simplificación:}\qquad\frac{1}{2r}\frac{d}{dt}\left(r^{2}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)\right)&=0 \end{alignat}

La razón por la que no lo entiendo es: si intento diferenciar la simplificación, no obtengo la ecuación original. Cuando la diferencio obtengo: $$\frac{1}{2r}\left(2r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)+r^2\left(\frac{d^2\theta}{dt}\right)\right)$$ Solo estoy usando la regla del producto. ¿Podría alguien explicarme qué estoy haciendo mal? Sería muy apreciado.

Gracias de antemano.

Answer 1

Aplicaste incorrectamente la regla del producto. Deberías haber $$ (uv)'=u'v+uv' $$ donde $u=r^2$ y $v=d\theta/dt$.

Nótese que $$ u'=2r r'\quad v'=\frac{d^2\theta}{dt^2} $$ donde $\displaystyle(\cdot)'=\frac{d(\cdot)}{dt}$.

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Notas.

\begin{align} \frac{1}{2r}\frac{d}{dt}\left(r^{2}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)\right) &=\frac{1}{2r}(2r\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r^2\frac{d^2\theta}{dt^2})\\ &=\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+\frac{r}{2}\frac{d^2\theta}{dt^2} \end{align}

Answer 2

Cuidado, $r$ también es una función de $t$, por lo que debes tener: $$\frac{1}{2r}\frac{d}{dt}\left(r^{2}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)\right) = \frac{1}{2r}\left(2r\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt} + r^{2}\frac{d^{2}\theta}{dt^2}\right) = \frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt} + \frac{r}{2}\frac{d^{2}\theta}{dt^2}.$$ Esto nos da $$\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt} + \frac{r}{2}\frac{d^{2}\theta}{dt^2}=0,$$ lo cual al multiplicar por $2$ nos da $$2\frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} + r\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} = 0.$$